Konvergenz von Folgen

19.02.2011, 18:30

Sabine2006

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Konvergenz von Folgen

Hallo,

Hab ein paar Folgen, von denen ich die Konvergenz bestimmen möchte.
Komme aber allein leider nicht so recht weiter und bräuchte mal etwas Hilfe!

1) $\begin{eqnarray*} a_{n} =((1+ 1/n^2))^n \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} a_{n} = ((n+3)/(2n-1))^n \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} a_{n} =((1+ \frac{1}{2n}) ^ 3 ) * ((1+ \frac{1}{2n})hoch (4n)) \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} a_{n} =((1+ \frac{1}{n}) hoch (2n) ) \end{eqnarray*}$

Ausser,dass die alle in irgendeiner Form nach e aussehen weiß ich leider nichts.
Tue mich beim Umformen noch sehr schwer und weiß nicht,wie ich die gegebenen Formlen möglichst geschickt umforme, damit ich hinterher auf irgendwas mit e komme, wenn ihr versteht was ich meine....

Bin über jede Hilfe dankbar!

19.02.2011, 19:02

lgrizu

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RE: Konvergenz von Folgen
Geht es nur darum, die Konvergenz zu zeigen?

Eine Folge ist Konvergent, wenn sie monoton ist und beschränkt, also kann man zuerst auf Monotonie untersuchen und dann auf Beschränktheit.

19.02.2011, 19:49

Sabine2006

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Es geht auch darum den Grenzwert zu bestimmen,also komm ich mit Monotonie und Beschränkheit leider nicht wirklich weiter.

19.02.2011, 19:55

Ibn Batuta

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Da Igrizu off ist...

Ich forme dir die erste Folge mal ein bisschen um, beim Rest bist du dann gefragt.

$\begin{eqnarray*} a_n:=\left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^n=\left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^{n\cdot n\cdot \frac 1 n}= \left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^{n^2\cdot \frac 1 n}=\left( \left(1+\frac 1 {n^2} \right)^{n^2} \right)^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$

Was ist hier der Grenzwert? Warum? Da ich gleich in die Kneipen und Bars weiterziehe, kann gerne ein anderer Helfer übernehmen, solltest du heute noch fragen haben.

Ibn Batuta

19.02.2011, 20:15

Sabine2006

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Mhhh....irgendwie bringt mich auch das gerad nicht so recht weiter unglücklich

unglücklich

19.02.2011, 20:19

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Sabine2006
Mhhh....irgendwie bringt mich auch das gerad nicht so recht weiter unglücklich

unglücklich

Was ist der Grenzwert von dieser Folge?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac 1 n \right)^n=? \end{eqnarray*}$

Wenn du das beantworten kannst, was könnte dann der Grenzwert von dieser Folge sein?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^{n^2}=? \end{eqnarray*}$

Und dann die nächste Frage:

Was wird dann wohl der Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( \left(1+\frac 1 {n^2} \right)^{n^2} \right)^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$

sein?

Ibn Batuta

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19.02.2011, 20:26

Sabine2006

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Der Grenzwert des ersten ist e,das hatten wir in der Vorlesung,aber warum ist mir nicht klar.Deshalb weiß ich auch bei den nächsten leider nur das,was Wolfram Alpha mir sagt,aber das darf ich ja in der Klausur leider nicht benutzen smile

smile

Also wüsste ich gern wie man da drauf kommt?

19.02.2011, 20:28

corvus

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RE: Konvergenz von Folgen
.
Prost

Prost

Ibn Batuta Prost

Prost

viel Spass

noch etwas süffig einfacher scheint mir
4) $\begin{eqnarray*} a_{n} =((1+ \frac{1}{n}) hoch (2n) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \left(1+ \frac{1}{n}\right) ^{2n} = \left[\left(1+ \frac{1}{n}\right) ^n\right] ^2 \end{eqnarray*}$

.

19.02.2011, 20:29

Sabine2006

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@corvus:

Cool!Das ist dann e^2,oder?

19.02.2011, 20:41

corvus

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Zitat:

Original von Sabine2006
@corvus:

Cool!Das ist dann e^2,oder?

... JA ............................ nix oder smile

smile

und dazu:

Zitat:

Der Grenzwert des ersten ist e,das hatten wir in der Vorlesung

... bist du sicher, dass du das richtig mitbekommen hast? verwirrt

verwirrt

.

19.02.2011, 20:44

Sabine2006

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm.
Also das bezog sich auf:
((1+ (1/n))^n
Also den Beitrag von Ibn Batuta.
und da bin ich mir eigentlich schon ziemlich sicher....

19.02.2011, 20:55

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

.
ja, ich meine auch dieses Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n:=\left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^n \end{eqnarray*}$

du kannst gerne warten, bis Ibn Batuta wieder heimgefunden hat ..
... ich nehme an, dass er dir dann sagen wird, dass hier der
Grenzwert nicht e ist.
.............................................. smile

smile

19.02.2011, 20:59

Sabine2006

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ok.da natürlich nicht. Da hab ich keine Ahnung wie ich den rauskriege.
Aber in seinem Beitrag stand nur n und nicht n^2 unter dem Bruch. Und das ist dann ganz normal e,oder nicht?

Also wenn du mir das sagst glaub ich dir genauso wie ihm Augenzwinkern

Augenzwinkern

Darfst mir also sehr gern weiterhin helfen smile

smile

Allein bin ich halt doch zu blöd dazu.... unglücklich

unglücklich

19.02.2011, 21:04

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von corvus
.
ja, ich meine auch dieses Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n:=\left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^n \end{eqnarray*}$

du kannst gerne warten, bis Ibn Batuta wieder heimgefunden hat ..
... ich nehme an, dass er dir dann sagen wird, dass hier der
Grenzwert nicht e ist.
.............................................. smile

smile

@Corvus

Kannst du eigentlich einmal - und sei es auch nur einmal - auch einen Fehler zugeben?... verwirrt

verwirrt

Wenn du was anderes gemeint hast, dann ist das dein Problem, aber was Sabine2006 gemeint hat -und das zu Recht -, kann jeder noch oben selbst nachlesen...

19.02.2011, 21:12

corvus

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Zitat:

Original von Sabine2006

Aber in seinem Beitrag stand nur n und nicht n^2 unter dem Bruch
du solltest halt von seinem Beitrag von 20:19 Uhr nicht nur die erste Zeile lesen geschockt

geschockt

Darfst mir also sehr gern weiterhin helfen smile

smile

.. oh, das ist aber ein SUPER Angebot - echt grosszügig..

Allein bin ich halt doch zu blöd dazu.... unglücklich

unglücklich

wozu?

... Mystic wird dir ja nun weiterhefen.
.

19.02.2011, 21:15

Sabine2006

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Hab mich aber auf das erste bezogen.
Naja,egal....wollte keinen Streit anzetteln oder so.
Danke für deine Hilfe bisher.

Das allein bin ich zu blöd dazu bezog sich auf meine erste Zeile dort.
Dass ich keine Ahnung hab,wie ich sowas raus kriege.

19.02.2011, 21:24

Mystic

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Ich forme dir die erste Folge mal ein bisschen um, beim Rest bist du dann gefragt.

$\begin{eqnarray*} a_n:=\left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^n=\left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^{n\cdot n\cdot \frac 1 n}= \left( 1+\frac 1 {n^2} \right)^{n^2\cdot \frac 1 n}=\left( \left(1+\frac 1 {n^2} \right)^{n^2} \right)^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$

Was ist hier der Grenzwert? Warum? Da ich gleich in die Kneipen und Bars weiterziehe, kann gerne ein anderer Helfer übernehmen, solltest du heute noch fragen haben.

Ibn Batuta

Ich denke, du solltest hier weitermachen... Da du ja schon weisst, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac 1n\right)^n =e \end{eqnarray*}$

so gilt natürlich dann auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac 1{n^2}\right)^{n^2} =e \end{eqnarray*}$

Wohin konvergiert daher die obige Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und warum?

19.02.2011, 21:28

Sabine2006

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gegen e^(1/n)
Richtig?

19.02.2011, 21:31

Mystic

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Falsch...

unglücklich

n bleibst ja nicht fest bei der ganzen Sache, sondern geht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ...

19.02.2011, 21:33

Sabine2006

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ahhh...
Gegen 1, da 1/n gegen 0 geht und somit der ganze Term dann gegen 1 geht?

19.02.2011, 21:38

Mystic

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So ist es... Freude

Freude

Genaugenommen brauch man da die Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} x^y \end{eqnarray*}$ in dem hier betrachteten Teil der x-y-Ebene...

Kannst dir nun denken wie die anderen Aufgaben gehen bzw. welche Umformungen man da vor dem Grenzübergang vornehmen muss?

19.02.2011, 21:45

Sabine2006

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Super!

smile

*freu*

Also beim 3. würd ich dann sagen,dass das gegen e^2 geht.Richtig?

Und beim zweiten fehlt mir leider wieder jegliche Idee,wie ich das sinnvoll umformen kann unglücklich

unglücklich

19.02.2011, 21:53

Mystic

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ok, $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ stimmt für Aufg. 3 ... Bei Aufg. 2 musst du versuchen herauszufinden, wohin der Bruch in

$\begin{eqnarray*} \left( \frac {n+3}{2n-1} \right)^n \end{eqnarray*}$

konvergiert? Kannst das mal tun?

19.02.2011, 22:18

Sabine2006

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Aaaalso....wenn ich bei Zähler und Nenner n ausklammer und wegkürze hab ich oben:
3/n + 1 und unten: -1/n + 2
Da 3/n und -1/n gegen 0 gehen für n gegen unendlich bleibt 1/2 in der Klammer stehen und das dann hoch n.
Das würde dann gegen 0 gehen. Ich weiß nur nicht,ob ich das so machen darf?Also ob das ein formal korrekter Weg ist,dass ich erst den Grenzwert des Klammerterms bestimme und den dann hoch n nehme?

19.02.2011, 22:26

Mystic

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Hm, wenn du dich von so einfachen Fragen schon ins Bochshorn jagen lässt, dann sehe ich ehrlich gesagt schwarz... unglücklich

unglücklich

Die allgmeine Methode zur Berechnung des Grenzwerts einer rationalen Funktion in n besteht darin, dass man Zähler und Nenner durch die größte Potenz von n, welche im Nenner vorkommt, durchdividiert und erst dann den Grenzübergang durchführt... Als mach das mal für

$\begin{eqnarray*} \frac{n+3}{2n-1} \end{eqnarray*}$

und für dann den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ durch...

Edit: Ah, ok, sehe gerade, du hast es doch geschafft... Ja, im Prinzip geht das so, aber mach das etwas sauberer, indem du die Folge geeignet "einzwickst" z.B.

$\begin{eqnarray*} 0 \le \left( \frac{n+3}{2n-1}\right)^n \le \left(\frac 23 \right)^n \end{eqnarray*}$

was "für genügend große n" sicher allgemein gilt und mach dann den Grenzübergang...

19.02.2011, 22:27

Sabine2006

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Juhu...Also so wie in der editierten Form meines Beitrags?Wusste halt nur nicht,ob man das so machen darf..

20.02.2011, 02:16

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Sabine2006
Juhu...Also so wie in der editierten Form meines Beitrags?Wusste halt nur nicht,ob man das so machen darf..

Tach, bin auch wieder zu Hause und folgende Hinweise noch von mir:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( \left(1+\frac 1 {n^2} \right)^{n^2} \right)^{\frac 1 n}=1 \end{eqnarray*}$

Das wurde ja schon richtig gemacht. (Danke an Mystic und corvus für´s Aushelfen!)

Die zweite Aufgabe geht genau so, wie es dir Mystic vorgeschlagen hat:

$\begin{eqnarray*} 0 \le \left( \frac{n+3}{2n-1}\right)^n \le \left(\frac 23 \right)^n \end{eqnarray*}$

Das ist das sogenannte Quetsch-Lemma, Sandwich-Lemma, Einschnürungssatz oder wie man das auch immer nennt. Ziel ist es die Folge so einzuschnüren, dass man einen Grenzwert erkennt.

Die 4. Aufgabe wurde ja schon gelöst. Da ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ .

Die 3. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\left(1+ \frac{1}{2n}\right)^3 \cdot \left(1+ \frac{1}{2n}\right)^{4n} \end{eqnarray*}$

Hier würde ich folgendes machen. Nehme an, dass es konvergiert, dann gelten auch die Grenzwertsätze:

Zitat:

Die Produktfolge $\begin{eqnarray*} p_n = b_n\cdot c_n \end{eqnarray*}$ hat den Grenzwert $\begin{eqnarray*} b \cdot c \end{eqnarray*}$

http://www.mathematik-wissen.de/grenzwertsaetze.htm

Sei hierzu $\begin{eqnarray*} b_n:=\left(1+ \frac{1}{2n}\right)^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n:=\left(1+ \frac{1}{2n}\right)^{4n} \end{eqnarray*}$ .

Winzige Kunstgriffe, wie in meinem Beispiel helfen. Betrachte danach den Grenzwert der beiden und folgere das Produkt daraus.

Ibn Batuta

20.02.2011, 09:59

Mystic

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Wie aus dieser Passage

Zitat:

Original von Sabine2006
Also beim 3. würd ich dann sagen,dass das gegen e^2 geht.Richtig?

hervorgeht, hat Sabine Aufgabe 3 eh schon richtig gerechnet und insofern sollten die Erklärungen aller Helfer hier schon auf fruchtbaren Boden gefallen sein, dass sie dann die leichtere Aufgabe 4 auch alleine schafft... Wink

Wink

20.02.2011, 12:30

Sabine2006

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Danke euch für die tollen Antworten!! Hat mir echt sehr weiter geholfen! smile

smile

@Ibn Batuta:
Danke für deine ausführlichen Erklärungen....gerade das mit dem Sandwich Lemma war mir noch nicht wirklich bewusst gewesen...also was rauskommt schon,aber warum das dann formal richtig ist!

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