Extremwerte eines Parameterintegrals

19.02.2011, 19:13

Thomate

Extremwerte eines Parameterintegrals

Meine Frage:
Laut AST soll ich die Extremwerte folgenden Parameterintegrals
$\begin{eqnarray*} f(x) = \int_0^1 \! \frac{sin(tx)}{t} \, dt \end{eqnarray*}$

in den Grenzen 1<x<6 bestimmen.
Quasi erst nach dt integrieren, dann nach x ableiten...
Weil ja t und x vorkommen kann man das Integrieren nicht weglassen.

Meine Ideen:
Mein Problem ist jetzt den Ansatz zur Integration zu finden. Kann mir jemand helfen?

19.02.2011, 19:37

Draos

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Substitution von $\begin{eqnarray*} u=tx \end{eqnarray*}$ könnte helfen.

19.02.2011, 19:47

Leopold

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Zitat:

Original von Draos
Substitution von $\begin{eqnarray*} u=tx \end{eqnarray*}$ könnte helfen.

Wohl eher nicht. Stattdessen unterm Integralzeichen nach x differenzieren.

20.02.2011, 16:04

Thomate

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Was meinst du mit "unterm Integralzeichen" differenzieren?

20.02.2011, 17:24

Leopold

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Unter geeigneten Voraussetzungen gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} \int_a^b f(x,t) ~ \dd t \ = \ \int_a^b \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 00:20

Thomate

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Ok. Also nachdem ich dann die partielle Differentiation nach x innerhalb des Integrals durchgeführt habe, komme ich zu folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! sin(tx)cos(tx) \, dt \end{eqnarray*}$

sin(tx) = u und cos(tx) = v' (nach dt, x wird als konst. betrachtet)
=> u' = x cos(tx) und v = 1/x sin(tx)

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! sin(tx)cos(tx) \, dt = \left[sin(tx)\frac{1}{x} sin(tx)\right]_{0}^{1} - \int_0^1 \! xcos(tx)\frac{1}{x} sin(tx) \, dt \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! sin(tx)cos(tx) \, dt = \frac{1}{2} \left[sin(tx)\frac{1}{x} sin(tx)\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2x} \left[sin(tx)sin(tx)\right]_{0}^{1} = \frac{sin^{2}(x)}{2x} = f'(x) \end{eqnarray*}$

Liege ich damit richtig?
Um die Aufgabe zu lösen müsste ich das Ergebnis jetzt bloß noch gleich Null setzen und ggf. die zweite Ableitung bilden, oder?

Danke für die Tipps bis dahin!

21.02.2011, 19:52

Leopold

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Wie kommst du auf das erste Integral? Ich habe ein viel einfacheres Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \int_0^1 \cos(tx)~\dd t = \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als stetiger Ergänzung für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

22.02.2011, 00:29

Thomate

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$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{d}{dx} \int_0^1 \! \frac{sin(tx)}{t} \, dt = \int_0^1 ( \frac{d}{dx} \! \; \frac{sin(tx)}{t} ) dt = \int_0^1 \! \frac{1}{t} * t * sin(tx) cos(tx) \, dt \end{eqnarray*}$

Nachdem du mir den Tipp mit der Differentiation innerhalb des Integrals gegeben hast, ging ich wie oben zu sehen vor.
Bei der Ableitung nach x wird t als konstanter Faktor behandelt und kürzt sich raus. cos(tx) ist dabei die äußere Ableitung von sin(tx) und t die innere Ableitung (von tx). Also im Sinne von (5x)' = 5, beispielsweise...
Oder gilt das hier im Parameterintegral nicht mehr?

22.02.2011, 11:26

Thomate

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Ach, hatte einen Gedankenfehler.
sin(5x)' ist ja 5 cos(5x)... Hab irgendwie doppelt gedacht...

sin^2(5x)' wäre dann aber 2sin(5x) *5 cos(5x).
Daher der Gedanke Big Laugh

hm also Danke für die Tipps, hat mir sehr geholfen!

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