Frage zu Induktionsbeweis

19.02.2011, 19:23

FetteHummel

Frage zu Induktionsbeweis

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} 2^{n} > n² \end{eqnarray*}$ für n>=5
Die Idee im Buch ist folgende
$\begin{eqnarray*} 2>(\frac{n+1}{n})² \end{eqnarray*}$
also(nicht nur) für unsere n>=5
und dann enstprechend multipliezieren mit dem term oben um auf n+1 zu kommen

Meine Ideen:
Wie kommt man darauf? Wo ist der Trick oder ist das wirklich einfach "Intuition"? und müsste man das eigentlich noch extra beweisen?

19.02.2011, 23:24

tohuwabou

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RE: Frage zu Induktionsbeweis
Wie meinen???????????

20.02.2011, 09:22

Mystic

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RE: Frage zu Induktionsbeweis

Zitat:

Original von FetteHummel
Wie kommt man darauf? Wo ist der Trick oder ist das wirklich einfach "Intuition"? und müsste man das eigentlich noch extra beweisen?

Wie man darauf kommt ist doch klar... Wenn man die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2^n > n^2 \quad (*) \end{eqnarray*}$

für ein n schon bewiesen hat, so muss man für den Beweis von

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

die linke Seite von (*) gewissermaßen mit 2, die rechte mit $\begin{eqnarray*} ((n+1)/n)^2 \end{eqnarray*}$ multplizieren... Wenn also $\begin{eqnarray*} 2>((n+1)/n)^2 \end{eqnarray*}$ für dieses n gilt, so bleibt die Ungleichung erhalten, d.h., man hat damit den Schluss von n auf n+1 im Induktionsbeweis und muss dann nur noch den passenden Induktionsanfang finden...

Und klarerweise muss man $\begin{eqnarray*} 2>((n+1)/n)^2 \end{eqnarray*}$ für alle n ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ beweisen, aber das sollte nicht allzu schwer sein, da ja $\begin{eqnarray*} ((n+1)/n)^2 \end{eqnarray*}$ streng monoton zum Grenzwert 1 hin fällt... Big Laugh

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