Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)

28.11.2006, 21:52

Stiffgirl

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Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)

Hallo, ich weiß ihr habt viel zu tun, aber ich habe heute eine Matheklausur geschrieben und hab das absolut nicht gekonnt. Hab die Aufgaben aber mitgenommen und wollte mal fragen, wie das geht, habe länger gefehlt und muss darüber auch noch eine Prüfung ablegen, also genau über diese Klausur. Muss erklären, warum ich welchen Schritt gemacht habe und dergleichen, daher benötige ich selbst die Zwischenschritte und Anmerkungen und das ist mein größtes Problem. Daher bitte ich euch um Hilfe.

Aufgabe 1)
Entlang einer Hauswand soll ein rechteckiges Kaninchengehege errichtet werden. Für die drei freien Seiten steht Zaunmaterial von 2om Länge zur Verfügung. Wie lang müssen die Seiten des Zauns gewählt werden, damit die Lauffläche für die Tiere möglichst groß wird?

Aufgabe 2)
Aus einem 120m langem Draht soll das Kantenmodell eines Quaders hergestellt werden, bei dem eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt möglichst groß ist.

Aufgabe 3)
Dargestellt ist der Querschnitt eines parabelförmigen Tunnels (hoffe man kann sich das ohne Grafik vorstellen). Der Parabelbogen hat die Funktionsgleichung f(x) = x²+12. Wie groß darf der Querschnitt eines rechteckigen Gegenstandes höchstens sein, damit er noch durch den Tunnel passt? Geben Sie die Seitenlängen und den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks an.

Aufgabe 4)
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Definitionsbereich, Symmetrie, Grenzverhalten, Nullstellen, Extremstellen und ggf. Wendestellen, einschließlich der dazugehörigen Punkte und skizzieren Sie mit Hilfe dieser Ergebnisse (in einem Koordinatensystem) dem Verlauf des Graphen für k=1.
a) fk(x)=x³+k mit dem Scharenparameter k Element R
b) fk(x)=kx²+k²x mit dem Scharenparameter k Element R positiv

Aufgabe 5)
Gegeben ist die Funktionsschar fk mit k Element R und
fk(x)=-1/18x^4 + k/3 x³.
a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich D an und begründen Sie diese Angabe. Bestimmen Sie die Nullstellen sowie Maxima/Minima und Wendestellen.

b) Untersuchen Sie ob alle Graphen dieser Funktionsschar Punkte gemeinsam haben und geben Sie diese gegebenenfalls an.

c) Weisen Sie nach, dass die Hochpunkte aller Graphen auf der Parabel mit der Gleichung S(x)=1/54x^4 liegen.

War echt länger nicht da und musste heute morgen kläglich scheitern. Möchter daher die Prüfung gut hinbekommen und hoffe echt auf eure Hilfe. Danke schonmal. Gruß Stiff

28.11.2006, 21:54

Musti

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
Wenn du die Lösung mit rechenschritten von uns willst bist du hier an der falschen adresse, egal wie lange du gefehlt hast.

Bring ein paar Ansätze und sag uns was du nicht verstehst und wir helfen dir auf die Sprünge.

29.11.2006, 16:35

Stiffgirl

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
ich weiß ja eben nicht wie ich dsa angehen soll.

29.11.2006, 16:56

yeti777

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
Hallo Stiffgirl!

Mach einen Schritt nach dem anderen, dh. nimm dir zuerst einmal die erste Aufgabe vor. Vorschlag:

1. Mach eine Grundrissskizze von Haus und Hag
2. Nenne die zwei senkrecht zum Haus stehenden Seiten a und die parallel zum Haus verlaufende Seite b.
3. Drücke die Länge des Hages mit a und b aus, dh. ?a + ?b = L = 20 m
4. Drücke die Fläche mit a und b aus, A = ...

A muss maximiert werden mit der Nebenbedingung L.

NB. Gehe ich richtig in der Annahme, dass du weisst, was differenzieren heisst und wie man die Extrema einer Funktion bestimmt?

Gruss yeti

29.11.2006, 20:06

Stiffgirl

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
oh je...werd von Tag zu Tag deprimierter...weiß nicht was differenzieren und das mit dem Maxima ist *heul*...aber das mit den ersten Schritten mach ich dann direkt mal. Danke dafür schonmal.

29.11.2006, 20:10

Stiffgirl

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
Soweit so gut...oder auch nicht. Was heißt denn "a muss maximiert werden mit der Nebenbedingung L ???

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29.11.2006, 20:28

yeti777

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)

Zitat:

Original von Stiffgirl
Soweit so gut...oder auch nicht. Was heißt denn "a muss maximiert werden mit der Nebenbedingung L ???

Nicht $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , sondern die Fläche $\begin{eqnarray*} A = ab \end{eqnarray*}$ muss maximiert, dh. möglichst gross gemacht werden.

Da ich sehe, dass du Schwierigkeiten hast, mache ich es etwas anschaulicher. Stell dir vor, du hättest ein Seil von der Länge L = 20 Meter. Du befestigst das eine Ende des Seils an der einen Hausecke und das andere Ende an der anderen (auf derselben Seite des Hauses). (Leider kann ich keine Skizze posten, weil aus ich aus irgendwelchen Gründen Anhänge nicht sehen kann). Jetzt fassen du und deine Freundin das Seil an zwei verschiedenen Punkten und ziehen es zu einem Rechteck dermassen, dass die eingeschlossene Fläche maximal wird (tönt furchtbar kompliziert, aber wie gesagt, die Anhänge funktionieren bei mir nicht).

Um dies zu berechnen, braucht man die Differentialrechnung. Falls dir, wie angetönt, der Begriff der Ableitung fremd ist, weiss ich offen gestanden auch nicht, wie du diese Aufgabe lösen sollst. Ich frage mich daher, warum man dir diese Aufgabe stellt. Vielleicht kannst du mir in kurzen Worten schildern, wie weit deine Kenntnisse in Mathe reichen.

Gruss yeti

30.11.2006, 17:57

Stiffgirl

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
Das das Maximiert werden muss, das ist mir ja noch ganz verständlich. Und Ableitungen bilden kann ich eigentlich auch. Aber das ganze in den Zusammenhang zu bringen, das kann ich überhaupt nicht. Kann Mathe eigentlich sogar gut, auch wenn man das grad nicht feststellen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber mir läuft so langsam die Zeit davon und ich kann das halt nicht.
Weiß nicht wie ich die Schritte hintereinaderbringen soll, und vor allem was für Schritte. Bin echt deprimiert das ich das nicht kann.

30.11.2006, 23:22

yeti777

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
Hallo Stiffgirl!

Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die zum Haus senkrechte Seite und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die zum Haus parallele Seite.

1. $\begin{eqnarray*} L=2a+b \end{eqnarray*}$ , Länge des Seils = 20 Meter (die 4. Seite wird durch die Hauswand gebildet) (1)
2. $\begin{eqnarray*} A=ab \end{eqnarray*}$ , umrandete Fläche (2). $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ muss maximiert werden.

Aus (1) folgt $\begin{eqnarray*} b=L-2a \end{eqnarray*}$ (1'). Dies eingesetzt in (2): $\begin{eqnarray*} A=a(L-2a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dA}{da} = L- 4a= 0\Rightarrow a= \frac{L}{4} \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt in (1'): $\begin{eqnarray*} b= L- 2a= L- 2\frac{L}{4} = \frac{L}{2} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} L=20 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=10 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} L=50 \end{eqnarray*}$ .

Gruss yeti

Zur Illustration ein Plot von A in Funktion von a:

01.12.2006, 00:01

derkoch

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@ stiffgirl

eine kleine ergänzung zu yetis rechnung!

yeti hat durch differenzieren (ableiten) die extremstellen einer funktion bestimmt!
da du geschrieben hast du hattes noch keine ableitung usw. gemacht hast, gebe ich dir einen tip, wie du diese aufgabe ohne ableitung bearbeiten kann!

es liegt hier eine quadratische funktion 2.grades (Parabel) vor , der extremwert einer parabel ist sein scheitel ! bestimme den scheitepunkt, dann hast du dein extrema!

01.12.2006, 09:56

Stiffgirl

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
Mit $\begin{eqnarray*} L=20 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=10 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} L=50 \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

verwirrt

muss das dann nicht "A" =50 sein und nicht L = 50? doofe frage, aber hab grad die chance nachzufragen. Danke schonmal dafür. Muss ich das bei Aufgabe zwei dann genauso machen? Bin grad dabei das nachzuvollziehen, deshalb. Lehrer

Lehrer

01.12.2006, 10:54

Tarson

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Hallo Stiffgirl,
bei der zweiten Aufgabe gehst du ähnlich vor, nur hast du hier zuerst drei Variablen, die drei Seitenlängen.
Ausserdem hast du zwei Nebenbedingungen, die Gesamtlänge und dass eine Seite dreimal so lang ist wie eine andere.
Mit den Nebenbedingungen kannst du dann das Volumen abhängig von einer Variablen schreiben und für diese Funktion dann das Maximum bestimmen.

Gruß

01.12.2006, 12:06

yeti777

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)

Zitat:

Original von Stiffgirl
Mit $\begin{eqnarray*} L=20 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=10 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} L=50 \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

verwirrt

muss das dann nicht "A" =50 sein und nicht L = 50? doofe frage, aber hab grad die chance nachzufragen. Danke schonmal dafür. Muss ich das bei Aufgabe zwei dann genauso machen? Bin grad dabei das nachzuvollziehen, deshalb. Lehrer

Lehrer

Ja natürlich: $\begin{eqnarray*} A = ab = 50 \end{eqnarray*}$ ! War ein Schreibfehler.

Gruss yeti

01.12.2006, 13:11

Stiffgirl

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
Bei Aufgabe 2 komm ich, wie soll es auch anders sein, nicht weiter. Bei diesem Kantenmodell sind ja auch die Seiten gesucht, bei denen der Rauminhalt möglichst groß ist. Also wieder maximiert werden soll. Und dabei soll ja die "längere" Kante dreimal so lang sein, wie die andere. Von jeder Seite hab ich dann doch gleich vier? Sehe ich dsa schonmal richtig?
Also müsste L=4a+4b sein??? (oh man, total der laie geworden)
Und A=2ab?
Ganz vielen lieben dank an dieser Stelle nochmal.
Gruß Stiffler Gott

Gott

01.12.2006, 13:13

Stiffgirl

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RE: Minimum/Maximum Berechung + Funktionsscharen (Prüfungsvorbereitung)
ach ne die ist ja dreimal so lang, also müsste das ja
L=12a + 4a oder doch 4b??? verwirrt

verwirrt

01.12.2006, 13:42

derkoch

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@ stiffgirl

du mußt bei solchen sog. Minimax aufgaben systematisch ran gehen!

es sind immer die selben schritte:

1) Hauptbedingung erstellen

2) Nebenbedingungen finden, -----> in Hauptbedingung einsetzen

1. Ableitung, 0 setzen ->Extremwert berechnen

2. Ableitung, Art des Extremwertes bestimmen

zu1) was ist die hauptbedingung in deiner aufgabe?
zu2) was ist die nebenbedingung ?

mache mal diese 2 sachen!

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