Konvergenz - Seite 2

30.11.2006, 20:41

Mathespezialschüler

Genauso könnte ich dich fragen: Warum unendlich? Ich könnte ja denken, dass es gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ läuft! Fangen wir einfach mal an mit dem Polynom. Das lässt sich ja darstellen durch

$\begin{eqnarray*} P(n)=a_k\cdot n^k+a_{k-1}\cdot n^{k-1}+\ldots+a_1\cdot n+a_0 \end{eqnarray*}$ .

Klammere zunächst $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ aus!

Gruß MSS

30.11.2006, 21:03

Marion

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Ok! ... das wäre dann P(n) = n^k*(a(0)+a(1)+...+a(k)) ... und nun ???

30.11.2006, 21:10

meph

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ich hänge an derselben aufgabe.
müsste so aussehen:
$\begin{eqnarray*} P(n)=n^{k}*(a_k + a_{k-1}*n^{-1}+a_{k-2}*n^{-2}+...+a_1*n^{1-k}+a_0*n^{-k}) \end{eqnarray*}$

wüsste aber noch nicht, was mir das weiterhilft.

30.11.2006, 21:20

Marion

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Hey meph,

wie kommstn darauf ???

LG

30.11.2006, 21:22

Mathespezialschüler

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meph hats richtig gemacht. Damit ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{P(n)}=\sqrt[n]{n^k}\sqrt[n]{a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}} \end{eqnarray*}$ .

Wogegen geht denn der zweite Wurzelausdruck? Zum ersten Wuzelausdruck:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k}=\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt[n]{n}\right)^k=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\right)^k \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

30.11.2006, 21:48

Marion

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Der 2. Wurzelausdruck läuft gegen 0 !!! ... oder ???

LG Marion

30.11.2006, 21:50

meph

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Zitat:

Original von Marion
Hey meph,

wie kommstn darauf ???

LG

Naja. Wenn du n^k ausklammerst, musst du in der Klammer jden Summanden durch n^k teilen, bzw. mit n^-k multiplizieren.

@MSS: Okay, so ist es offensichtlicher, danke.

die Brüche gehen gegen 0, und damit n-te-wurzel(ak+0) gegen 1.

30.11.2006, 22:05

Mathespezialschüler

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Richtig, die Brüche gehen gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Um es dann mathematisch exakt zu machen, könnte man z.B. sagen: Wegen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right)=0 \end{eqnarray*}$

gilt für genügend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{a_k}{2}}\leq \sqrt[n]{a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}}\leq \sqrt[n]{\frac{3a_k}{2}} \end{eqnarray*}$

und aus dem Einschnürungssatz folgt, dass damit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ geht.
Wogegen der erste Wurzelausdruck geht, hast du auch raus?

Gruß MSS

30.11.2006, 22:11

Marion

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Auch gegen 1 ???

30.11.2006, 22:32

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich.
Wir haben oben den Betrag ganz vergessen. Der lässt sich aber leicht mit einbauen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|P(n)|}=\sqrt[n]{n^k}\sqrt[n]{\left|a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right|} \end{eqnarray*}$ .

Wegen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right)=0 \end{eqnarray*}$

gilt dann für genügend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left|a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right|\leq |a_k|+\left|\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right|\leq \frac{3|a_k|}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right|=\left|a_k-\left[-\left(\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right)\right]\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq |a_k|-\left|-\left(\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right)\right|\geq \frac{|a_k|}{2} \end{eqnarray*}$

und damit insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{|a_k|}{2}}\leq \sqrt[n]{\left|a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right|}\leq \sqrt[n]{\frac{3|a_k|}{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt folgt wieder aus dem Einschnürungssatz, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\left|a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\frac{a_{k-2}}{n^2}+\ldots+\frac{a_0}{n^k}\right|} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ geht.

Gruß MSS

30.11.2006, 22:36

meph

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Uff, ich habs jetzt ein wenig anders geschrieben. Bin aber ganz zufrieden. An den Betrag habe ich aber gedacht.

Dass die nte-Wurzel(n) für n->unendl. 1 ist, dürfen wir vorraussetzten.

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