Konvergenz

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Marion Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
Hallo zusmmen,

habe hier eine Aufgabe, wo es darum geht beim Konvergenzfall den Grenzwert einer Folge zu berechnen! Brauche dringend Hilfe! Danke im Voraus.

Also:

Man berechne im Konvergenzfall den Grenzwert der Folge a(n) ; n aus natürlichen Zahlen, wobei a(n) einen der folgenden Werte hat:

a) (3+4i / 5)^n ( i=komplex!)
b) n-te Wurzel aus a^n+b^n+c^n ; a,b,c aus reellen positiven Zahlen!
c) n-te Wurzel aus Betrag von P(n) ; P ein Polynom!
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
Na ja, was hast du denn schon berechnet? Wo genau hast du Probleme?
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nichts berechnet, weil ich damit überhaupt nicht klar komme! :-(
Ich brauche einen Ansatz ... bitte!

LG

Marion
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

b) würde ich erstmal zur Potenz umschreiben und dann logarithmieren.

Edit: Nein, das bringt nichts, der Ausdruck wird immer rießiger geschockt

und schreib bitte in LaTeX, sonst ist deine erste Folge doppeldeutig
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für b) siehe hier.
Zu c): Weißt du schon, dass gilt?

Gruß MSS
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke erstmal!

zu c) ich verstehe nicht, was mir das bringen soll ...

zua) ... hoffe ihr wisst was ich meine!

edit: Latex geändert. (MSS)
 
 
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal! ... erstmal danke für die jetztige Hilfe!

zu c) Was soll mir das bringen ???

zu a) ... ich hoffe ihr wisst was ich meine! das ^n ist außerhalb der klammer und innerhalb ist ein bruchstrich, so dass 3+4*i ober sthet und die 5 unten!!!

LG Marion
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marion
zu c) Was soll mir das bringen ???

Das sage ich dir dann schon, aber wenn du es nicht kennst, brauch ich den Weg ja auch gar nicht ansprechen ...

Gruß MSS
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ok ich hab das mal in den Taschenrechner eingetippt und kann mir jetzt vorstellen, was du damit meinst! .... aber was hat das jetzt mit der Aufgabe zu tun ????

LG

Marion
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

P(n) hat doch in etwa die Form:


Jetzt klammere mal n^k aus überlege dir mit dem Hinweis von MSS den Grenzwert von

zu a: schreibe die komplexe Zahl (3+4i)/5 in der Form:
mit einem geeigneten Winkel phi.
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis!

Verstehe aber nicht wie du bei a) auf diesen Ausdruck kommst ???
Orakel Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (a): ist die eulersche Darstellung komplexer Zahlen oder eben die Polarkoordinatendarstellung!!!
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Und was sagt mir das ???

LG
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir das nichts sagt bzw. du diese Darstellung nicht kennst, dann wird es schwierig. Vielleicht kennst du auch Sätze wie diese:

Die Folge konvergiert für |z| < 1 und z = 1.
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist schon klar, was da steht und ich verstehe auch was da steht! Nur ich weiß nicht, wie ich das in die Aufgabe hinein arbeiten soll!!! :-(

LG

Marion
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
zu a: schreibe die komplexe Zahl (3+4i)/5 in der Form:
mit einem geeigneten Winkel phi.


Dann solltest du aber wenigstens das können.
Tipp: mit z ist (3+4i)/5 gemeint.
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mir ist schon klar das z= ... (wie du geschrieben hast!) ... was bringt mir das aber ???

LG Marion
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Marion

Da du dich nicht um einen Millimeter nach vorn bewegst, schlage ich folgendes vor: Du zeichnest mal den Punkt in das Koordinatensystem der Gaußschen Zahlenebene ein. Dann berechnest du , und zeichnest diesen Wert ebenfalls ein, dann dasselbe mit , , usw. bis du endlich siehst, was los ist. Denn anders scheint sich der Aha-Effekt bei dir nicht einstellen zu wollen...
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich probiers grad! ... und nichtmal das bekomm ich hin! ... ich hör auf zu studieren! Das hat doch keinen Sinn! :-(

LG Marion
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass es keinen ´Grenzwert gibt, da die Punkte im Koordinatensystem immer "größer" werden ???

LG Marion
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig: keinen Grenzwert.
Falsch: die Punkte werden immer "größer":

Die Punkte laufen auf dem Einheitskreis spazieren. Augenzwinkern

EDIT: was studierst du denn?
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich das denn mathematisch korrekt aufschreiben ??? ... studier Mathe im 1. Semester und komm noch nicht klar!

Lg

Marion
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes solltest du endlich mal in Polarkoordinatenform bringen. Dann kannst du dir anschauen, was z^n macht.

Und noch was: effektive Hilfe lebt davon, daß du aktiv mitmachst und nicht alle viere von dir streckst oder nur neue und eher nebensächliche Fragen stellst. Mathe ist im 1. und 2. Semester ziemlich hart. Da kommt man nur durch, wenn man sich damit intensiv beschäftigt.
Dr. Logik Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marion
Ich probiers grad! ... und nichtmal das bekomm ich hin! ... ich hör auf zu studieren! Das hat doch keinen Sinn! :-(

LG Marion


Hey, Marion. Ich glaube das geht uns allen so. Ich sitze auch grad an der Aufgabe und komme nicht wirklich weiter. Aber deshalb darf man sich ja wohl nicht unterkriegen lassen, oder? Immer frohen Mut behalten Tanzen

Zitat:

Als erstes solltest du endlich mal in Polarkoordinatenform bringen...


Das ist gar nicht so leicht, wenn man das noch nie in der Vorlesung behandel hat.... (so wie z.B. Marion) Ich hatte das zum Glück schon mal in Physik, ansonsten wüsste ich davon auch nix.

Zitat:

Du zeichnest mal den Punkt in das Koordinatensystem der Gaußschen Zahlenebene ein. Dann berechnest du , und zeichnest diesen Wert ebenfalls ein, dann dasselbe mit , , usw. bis du endlich siehst, was los ist. Denn anders scheint sich der Aha-Effekt bei dir nicht einstellen zu wollen...


Würde das denn eigentlich als ein Beweis für Divergenz genügen oder dient das lediglich der Veranschaulichung???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nur zur Veranschaulichung. Aber meiner Erfahrung nach hilft dieser "geometrische" Blick auf die komplexen Zahlen durchaus zum tieferen Verständnis. Vielleicht nicht sofort, aber so nach und nach.
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

die geomatrische Veranschaulichung versteh ich jetzt! Aber wie soll ich das mathematisch aufschreiben ? Reicht es aus zu sagen das die Folge auf dem Einheitskreis "rumläuft" ???

LG Marion
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das geht immer noch über die Polarkoordinatenform. Von mir aus zeichne mal den Punkt (0,6; 0,8) in ein Koordinatensystem und berechne mal den Winkel phi zwischen x-Achse und der Geraden durch den Ursprung und diesem Punkt.
Tipp: da hilft der arcus-tangens.

Wenn du dann noch |z| hast, dann hast du alles für die Darstellung beisammen. Davon kannst du ohne weiteres z^n berechnen. Das ist einfache Anwendung von Potenzgesetzen.
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe für phi = 53,13 raus! ... ist das richtig ???

Wenn ja, wie berechne ich jetzt z°n ???

Lg Marion
Dr. Logik Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das jetzt so weiterführe, komme ich auf einen Grenzwert von 1. Ist das denn richtig? Sagt das aus, dass der Grenzwert auf dem Einheitskreis "wandert"?
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das sagt das aus! Aber wie berechnet man z^n ???

Lg
Dr. Logik Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab für phi schon mal nen ganz anderen wert raus und zwar 0,927... im Bogenmaß. Da |z|=1, musst du nur noch von den Grenzwert berechnen. Dann wendest du ein Potenzgesetz an und dann siehst du, dass der Grenzwert gegen 1 geht . Das müsstest du dann aber schon selbst schaffen.

!!! wenn ich mich irren sollte <-- dann bitte verbessern !!!
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das aber nicht im Bogenmaß! Ich hab den Punkt(0,6/0,8) genommen und dann phi ausgerechnet mit arctan! Da kommt bei mir 53,13° raus!!! Und für den Betrag von z = 7/5 ...

Lg Marion
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dr. Logik
!!! wenn ich mich irren sollte <-- dann bitte verbessern !!!

In der Tat irrst du dich. Der Betrag ist stets und ständig 1. Das heißt aber nicht, daß das z auf der Stelle bleibt.

@Marion: üblicherweise rechnet man den Winkel in Bogenmaß. Und wie du auf den Betrag von 7/5 kommst, kann ich mir zwar denken, entspricht aber nicht den Regeln, wie man den Betrag einer komplexen Zahl berechnet.
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie geht das denn jetzt richtig ???

LG

Marion
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »



Ich bleibe dabei, daß du auch was selbst rechnen mußt. Und sei es die simple Berechnung des Betrages einer komplexen Zahl.
meph Auf diesen Beitrag antworten »

letztlich hat da doch folgendes stehen:

e^(n*i*phi)

letztlich dreht sich doch der Punkt mit der Länge 1, um den Ursprung, zwar immer um phi, aber letztelich macht das ja keinen unterschied, um welches phi? darum würde ich sagen, dass die folge nicht konvergent ist?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Geteilt

Mephs Frage wurde hieher verschoben.

Gruß MSS
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

nochmal zur c) ... wir haben ein Polynom mit der Form P(n)= ... wie schon geschrieben! ... Mit dem Hinweis von MSS folgt ja das die Wurzel aus P8n) = 1 ist !!! richtig ???

LG Marion
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist falsch. Für welches soll das denn gelten? Für alle? Richtig ist:

.

Gruß MSS
Marion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja tut mir leid, dass ich mich schlecht ausgedrückt habe!!! Aber genau das meine ich! ... wieso eigentlich = 1 ??? Man könnte doch denken das es gegen unendlich läuft ???

LG Marion
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