Schnittkante zweier gekrümmter Flächen im Raum

20.02.2011, 11:23	Carsten1248	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittkante zweier gekrümmter Flächen im Raum Meine Frage: Gegeben im Raum mit den Koordinaten (x, y, z) seien 1. ein Kreishohlzylinderviertel-Querschnitt mit zugehörigem Maß F und Formel y(x): blaue Kurve in der Grafik, 2. ein Ellipsenhohlzylinderviertel-Querschnitt mit zugehörigen Maßen F, L und Formel y(z): rote Kurve in der Grafik, die Mantelflächen also gedacht als Verlängerung 1. in z-Richtung für y(x) bzw. 2. in x-Richtung für y(z). Die Mantelflächen sind also um 90° zueinander gedreht und berühren sich in einer (vermutlich elliptischen oder ähnlichen) Schnittkante: grüne Kurve in der Grafik. Gesucht ist eine Formeldarstellung für die entstehende Schnittkante im Raum, etwa der Art a = a(x, y, z)?? Meine Ideen: Über eine geometrische Annäherung, die die Entstehung einer anscheinend elliptischen Schnittkante (siehe Grafik: grün) vermuten lässt, komme ich nicht hinaus. Zur Überführung von y(x), y(z) in ein vermutliches x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y) bzw. a = a(x, y, z) wäre ich für Ideen dankbar.
20.02.2011, 12:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreiszylinder: $\begin{eqnarray} (x-F)^2 + y^2 = F^2 \end{eqnarray}$ Elliptischer Zylinder: $\begin{eqnarray} \frac{y^2}{F^2} + \frac{(z-L)^2}{L^2} = 1 \end{eqnarray}$ Wenn man $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ vorgibt, lassen sich die Gleichungen nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auflösen. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ darf nur Werte zwischen $\begin{eqnarray} -F \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ annehmen. Es bietet sich die Standardsubstitution an: $\begin{eqnarray} y = F \cos t \, , \ \ - \pi \leq t \leq \pi \end{eqnarray}$ Auf diese Weise bekommst du eine Parameterdarstellung der Kurve: $\begin{eqnarray} x = x(t), \ y = y(t), \ z = z(t) \end{eqnarray}$
20.02.2011, 19:39	Carsten1248	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort! Gibt es neben der Parameterdarstellung in drei Gleichungen ( x=x(t), y=y(t), z=z(t) ) eine Darstellung in einer Gleichung a la t = t(x, y, z) oder x = x(y, z) oder y = y(x, z) oder z = z(x, y) ?
20.02.2011, 22:43	abc2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit etwa y=t werden aus den 3 Parametergleichungen nur 2: x = x(y) und z = z(y). [attach]18260[/attach]
21.02.2011, 19:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kurve hat die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F + F \sin t \\ F \cos t \\ L + L \sin t \end{pmatrix} \, , \ \ - \pi \leq t \leq \pi \end{eqnarray}$ Wenn man nun ein zweidimensionales Koordinatensystem $\begin{eqnarray} \mathcal{K} \end{eqnarray}$ einführt: $\begin{eqnarray} \mathcal{K} = \left( M ; \ \vec{u}, \, \vec{v} \right) \ \ \text{mit} \ \ \vec{m} = \begin{pmatrix} F \\ 0 \\ L \end{pmatrix} \, ; \ \ \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{F^2 + L^2}} \begin{pmatrix} F \\ 0 \\ L \end{pmatrix} \, , \ \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray}$ die orthonormierten Basisvektoren sind und $\begin{eqnarray} \vec{m} \end{eqnarray}$ der Ortsvektor des neuen Ursprungs $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist, dann gilt, wie man sofort nachrechnet: $\begin{eqnarray} \vec{x}(t) = \vec{m} + \sqrt{F^2 + L^2} \cdot \sin t \cdot \vec{u} + F \cos t \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ Dies zeigt, daß die Kurve eine Ellipse mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist, deren Halbachsen $\begin{eqnarray} a = \sqrt{F^2 + L^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = F \end{eqnarray}$ in Richtung von $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ liegen.
22.02.2011, 19:53	Carsten1248	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für eure Hilfe!!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »