Fourierreihe (verschobene Funktion)

20.02.2011, 10:26

dejahr

Fourierreihe (verschobene Funktion)

Meine Frage:
Hallo hab eine kurze Frage:
Habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= (x-\pi )^2 \end{eqnarray*}$
Bereich 0 bis 2pi

Jetzt ist das ja eine um Pi nach rechts verschobene Parabel (nach oben geöffnet)
f(x) ist außerdem gerade also Fourierkoeffizient b_n=0

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\int_0^{2\pi} \! f(x)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
kann ich jetzt nicht einfach die Funktion durch x^2 ersetzten und das integrieren oder wär das falsch, weil es müsste doch das selbe herauskommen, oder?

20.02.2011, 12:05

Ibn Batuta

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Verstehe ich das richtig, dass du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= (x-\pi )^2 \end{eqnarray*}$ gegeben hast und gesucht ist nachstehendes Integral?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} f(x)\dx \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

20.02.2011, 13:06

dejahr

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Gesucht ist der Fourierkoeffizient a_n der sich eben aus

$\begin{eqnarray*} a_n=\int_0^{2\pi} \! f(x)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

ich würde jetzt einfach anstelle von f(x)=(x-pi)^2

nur x^2 nehmen.

21.02.2011, 17:42

dejahr

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Ist die Frage unklar?

22.02.2011, 07:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von dejahr
ich würde jetzt einfach anstelle von f(x)=(x-pi)^2

nur x^2 nehmen.

Wenn du das machen willst, mußt du u = x - pi substituieren. Das führt dann zu:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! f(x) \cdot cos(nx) \, dx = \int_{- \pi}^{\pi} \! u^2 \cdot cos(n(u + \pi)) \, dx \end{eqnarray*}$

Ob das jetzt viel schöner ist, ist eine andere Frage. Du kannst aber den cos-Ausdruck mit Additionstheoremen noch umformen.

Übrigens mußt du das Integrationsergebnis noch mit 1/pi multiplizieren, um auf den Fourierkoeffizienten zu kommen.

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