Fehler beim Gram-Schmidt- Verfahren

20.02.2011, 14:05

confused Stud.

Fehler beim Gram-Schmidt- Verfahren

Hallo zusammen, habe gerade eine Übungsaufgabe zum Gram-Schmidt-Verfahren gerechnet, aber habe dabei wohl einen Fehler gemacht.
Zu berechnen ist eine orthogonale Basis mit der Standartform des Gram-Schmidtverfahren.
Gegeben ist eine Basis im R³ mit 2 Basisvektoren v1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und v2 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
allgemeine Form des Gram-Schmidt-Verfahren (die ich habe): v2'= v2 - $\begin{eqnarray*} \frac{v2 * v1}{||v1||} \end{eqnarray*}$ * v1

nun setzte ich die gegebenen Basisvektoren ein:
v2’= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}}{||\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}||} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nächster Schritt:

v2’= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{43}{||\sqrt{38}||} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe den Betrag von v1 gebildet und v1 mit v2 multipliziert.

nächster Schritt:

v2’= 7 - $\begin{eqnarray*} \frac{86}{||\sqrt{38}||} \end{eqnarray*}$
3 - $\begin{eqnarray*} \frac{129}{||\sqrt{38}||} \end{eqnarray*}$
4 - $\begin{eqnarray*} \frac{215}{||\sqrt{38}||} \end{eqnarray*}$

(Sry weiß nicht wie ich es besser in Latex darstellen kann, es ist halt in LGS aufgelöst)

Wenn ich das LGS nun auflöse ist der entstehende Vektor und v1 nicht orthogonal zueinander. (Skalarprodukt ungleich 0)

Ich hoffe jemand findet meinen Fehler, ob ich für mein Beispiel falsche Basisvektoren genommen habe, meine allgemeine Form falsch ist oder ich einen Rechenfehler gemacht habe. Finde ihn selbst nicht.

21.02.2011, 15:37

confused Stud.

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RE: Fehler beim Gram-Schmidt- Verfahren
Findet niemand den Fehler? Das einzige was mir bis jetzt aufgefallen ist, dass in einer allgemeinen Form die ich gefunden habe wird der Betrag nochmal quadriert. Könnte das schon der ganze Fehler sein? Unter dieser Bedingung ist der entstehende Vektor jedenfalls orthogonal, aber spielt das quadrieren eine Rolle? Hatte eine andere Aufgabe ohne quadrieren erfolgreich gelöst.

21.02.2011, 15:49

klarsoweit

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RE: Fehler beim Gram-Schmidt- Verfahren

Zitat:

Original von confused Stud.
allgemeine Form des Gram-Schmidt-Verfahren (die ich habe): v2'= v2 - $\begin{eqnarray*} \frac{v2 * v1}{||v1||} \end{eqnarray*}$ * v1

Das müßte $\begin{eqnarray*} v2' = v2 - \frac{v2 \cdot v1}{||v1||^2} \cdot v1 \end{eqnarray*}$ heißen.

Übrigens heißt es "Standard" und nicht "Standart". Letzeres ist die Art des Standes. smile

Zitat:

Original von confused Stud.
Das einzige was mir bis jetzt aufgefallen ist, dass in einer allgemeinen Form die ich gefunden habe wird der Betrag nochmal quadriert. Könnte das schon der ganze Fehler sein?

In der Tat, wie du siehst.

Zitat:

Original von confused Stud.
Hatte eine andere Aufgabe ohne quadrieren erfolgreich gelöst.

Dann war möglicherweise v1 schon auf 1 normiert.

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