multiplikative Gruppe - Beweis

20.02.2011, 15:50

Gast11022013

multiplikative Gruppe - Beweis

Meine Frage:
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^*:=\left\{m\in \mathbb Z_n:ggT(m,n)=1\right\} \end{eqnarray*}$ ist multiplikative Gruppe.

In Hinblick auf die anstehende Algebra-Klausur habe ich mir mal wieder eine (hoffentliche) klausurtypische Aufgabe herausgesucht: Gruppennachweis.

Ich habe mir dieses Beispiel genommen, weil ich da mit den Formulierungen etwas unsicher bin und manchmal den Eindruck habe, ich begründe das nicht ausreichend.

Hinweis: Diese Aufgabe ist lt. Aufgabenblatt nur einen Punkt wert, kann also nicht übermäßig schwer sein.

Meine Ideen:
Zunächst habe ich mir mal ein Beispiel angesehen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_4^*=\left\{0,1,3\right\} \end{eqnarray*}$

Nun zum allgemeinen Nachweis der Gruppenaxiome.

1. Abgeschlossenheit
Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} ggT(a,n)=ggT(b,n)=1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber auch $\begin{eqnarray*} ggT(a\cdot b,n)=1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a\cdot b\in \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ .

[Hier zum Beispiel frage ich mich, ob man das irgendwie spezieller bzw. ausführlicher begründen muss, dass $\begin{eqnarray*} ggT(a\cdot b,n)=1 \end{eqnarray*}$ .]

2. Assoziativität:
Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c\in \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c \end{eqnarray*}$

[Das ist doch im Grunde einfach die "gewöhnliche" Assoziativität der Multiplikation ganzer Zahlen, oder?]

3. Existenz eines Neutralelements:
Hier weiß ich nicht so recht weiter.
Ich hätte spontan gesagt, dass 1 das Neutralelement ist, aber ist die 1 denn enthalten in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ ? Ich würde sagen: Ja, denn der größte Teiler, den n und 1 gemeinsam haben, ist ja die 1.

4. Inverse Elemente:
Sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ beliebig.
Dann muss ja - vorausgesetzt, dass 1 das Neutralelement ist - ein $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ existieren, s.d. $\begin{eqnarray*} a\cdot b=1 \end{eqnarray*}$ .
Ich kann es auch hier wieder nicht richtig begründen, aber wenn ich mir mein Beispiel oben ansehe, finde ich solche Elemente.

[Wie kann mans allgemein begründen?]

Ich würde mich freuen, wenn jemand die Lücken füllt bzw. mir Tipps geben könnte.

20.02.2011, 15:59

Mystic

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Du näherst dich der ganzen Sache - fast möchte ich sagen, wieder einmal - von der falschen Seite...

Du solltest als erstes den Satz zeigen: In jedem Ring R mit Einselement bildet die Menge R* der invertierbaren Elemente eine Gruppe bez. der Multiplikation.

Anschließend schaust du noch kurz nach, wie die invertierbaren Elemente im Restklassenring mod n eigentlich aussehen - und fertig...

20.02.2011, 16:02

Gast11022013

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Tut mir leid, das verstehe ich nicht.

Und solche Aufgaben wurden auch eigentlich immer durch bloßes Nachweisen der Gruppenaxiome gelöst.

traurig

20.02.2011, 16:07

Mystic

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Ja, es geht ja auch in erster Linie um das Nachweisen der Gruppenaxiome: Du musst zeigen, dass

1. In jedem Ring R mit Einselement die Menge R* der invertierbaren Ringelemente bez. der Multiplikation eine Gruppe bildet.

2. Speziel im Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray*}$ die invertieren Elemente gerade jene sind, welche zu n teilerfremd sind.

Also um den Nachweis der Gruppenaxiome kommst du sowieso nicht herum... Augenzwinkern

Edit: Solltest du das aber auf "deine" Art machen wollen, dann lass um Gottes Willen wenigstens jene Sachen weg, welche im Restklassenring mod n sowieso gelten, wie z.B. das Assoziativgesetz der Multiplikation... Warum in aller Welt willst du das zeigen?

20.02.2011, 16:10

Gast11022013

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Habe ich überhaupt richtig begriffen, was $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^* \end{eqnarray*}$ , denn auf dem Zettel steht dazu, dass es die "prime Restklassengruppe" ist und Wikipedia beschreibt das ja ganz anders als ich:

http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe

20.02.2011, 16:16

Mystic

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Ja, $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_n^\ast \end{eqnarray*}$ ist die prime Restklassengruppe mod n und das sind gerade die invertierbaren Elemente im Restklassenring mod n, d.h., jene, welche zu n teilerfremd sind...

20.02.2011, 16:35

jester.

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis

Zitat:

Original von Dennis2010
In Hinblick auf die anstehende Algebra-Klausur habe ich mir mal wieder eine (hoffentliche) klausurtypische Aufgabe herausgesucht: Gruppennachweis.

Kurze Anmerkung meinerseits: Das ist höchstwahrscheinlich keine typische Algebra-Klausuraufgabe.

20.02.2011, 16:36

Gast11022013

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Ich verstehe aber nicht, warum man hier nicht einfach ganz normal die Gruppenaxiome so nachweisen kann, wie ich es versucht habe.

Alles Andere ist (für mich) zu kompliziert und hat glaub ich was mit Ringtheorie zu tun. Außerdem ist die Aufgabe nur einen Punkt wert, was für mich darauf hindeutet, dass man Axiome nachrechnen soll.

20.02.2011, 16:39

Gast11022013

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Ich glaube, dass ihr diese Aufgabe aus einem anderen Blickpunkt betrachtet als ich. Vielleicht erkennt ihr darin mehr - das man zeigen müsste.

Aber wie gesagt, diese Aufgabe wurde mit einem Punkt bewertet, also soll man wahrscheinlich doch einfach nur die Gruppenaxiome "stumpf" nachrechnen.

20.02.2011, 17:23

Mystic

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Wie gesagt, wenn du nur die Gruppenaxiome "stumpf" nachrechnen willst, dann solltest du nur das zeigen, was zu zeigen ist, nämlich

1. $\begin{eqnarray*} ggT(a,n)=ggT(b,n) \Rightarrow ggT(ab,n)=1 \end{eqnarray*}$ (Abgeschlossenheit)
2. $\begin{eqnarray*} ggT(1,n)=1 \end{eqnarray*}$ (Existenz des neutralen Elements)
2. $\begin{eqnarray*} ggT(a,n)=1 \Rightarrow \exists b \in \mathbb{Z}_n^\ast: ab \equiv 1 \mod n \end{eqnarray*}$

Auf keinen Fall aber die Assoziativität, denn die gilt ja bereits im Restklassenring mod n (ein kurzer Verweis darauf kann aber nicht schaden!)

20.02.2011, 17:51

Gast11022013

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RE: multiplikative Gruppe - Beweis
Danke!

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