Kurvenintegral- Arbeit des gesamten Weges

20.02.2011, 17:34	<(_)>	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral- Arbeit des gesamten Weges Hallo ih bin grad ganz neu hier und hoffe ich poste das hier richtig. Ich habe folgendes Problem. Bin gerade dabei an einer Altklausur herumzurechnen und komme nicht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt: Ein Teilchen bewegt sich in einem dreidimensionalen, kartesischen Koordinatensystem im Kraftfeld F(x,y,z):R³->R³ , F(x,y,z)= (y, e^y,z) ; vom Punkt (1,0,0) entlang der Parabel y(x)= 1-x² ( in der x-y-Ebene ) zum Punkt (0,1,0) und von hier geradlinig zum Punkt (0,1,1). a) Untersuche ob F konservativ ist ----> nein ( habe ich zumindestens raus ) b) Berechnen Sie die Arbeit bezüglich des gesamten Weges. Mein Problem ist b) Ich weis zwar dass man die Kurveenintegrale unterteilen muss und sie am ende adiert nur was muss ich generell machen um die berechnen zu können. Danke im Voraus!
20.02.2011, 17:35	<(_)>	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry für die ganzen Tippfehler^^
20.02.2011, 18:09	<(_)>	Auf diesen Beitrag antworten »
So es hat mir einfach keine ruhe gelassen und ich habe es jetzt hoffentlich richtig hinbekommen. Meine größte unsicherheit besteht darin r(t) zu bestimmen, also das parametisieren oder wie man das nennt^^ kann man jemand überprüfen ob meine beiden vektoren stimmen. Für die erste teilkurve habe ich r(t) = (t,1-t²,0) für die arbeit habe ich da 0,3 raus und für die zweite Teilkurve habe ich r(t) =(0,t²,t) und für die arbeit 3,22 raus. Die Gesamtarbeit bei mir ist dann also 3,52. Ich will nicht zu viel verlangen aber es wäre echt schön wenn ein Könner das mal eben nachrechnet^^
20.02.2011, 18:25	Halliday	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin mir zwar auch nicht 100% sicher, aber du hast bei deinem zweiten Weg t² als y Wert in deiner Parameterdarstellung. Der Weg ist aber geradlinig und wenn du Werte zwischen 0 und 1 einsetzt, wird das ganze ja kurvenartig verlaufen, wegen dem ^2. Ich denk man kann auch für den zweiten Weg (0,1,t) benutzen. Das müsste auch geradlinig sein. achja, zu deiner Frage in meinem anderen Thread: ja, das studier ich auch
20.02.2011, 20:09	<(_)>	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ja okay dann hab ich wieder 0 Ahnund wie man generell auf die r(t) vektoren kommt. Kann mir das vielleicht mal jemand erklären? @Halliday zufallig auch in Lautern und Mathe beim Türk? XD
20.02.2011, 22:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma_1: \ \ x = t \, , \ y = 1 - t^2 \, , \ z = 0 \, ; \ \ 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ wird die Parabel vom Punkt $\begin{eqnarray} (0,1,0) \end{eqnarray}$ zum Punkt $\begin{eqnarray} (1,0,0) \end{eqnarray}$ durchlaufen, also genau falsch herum. Man kann die Parametrisierung dennoch verwenden, muß aber die falsche Richtung durch ein Minuszeichen beim Weg und beim Integral korrigieren. Für die Strecke von $\begin{eqnarray} (0,1,0) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} (0,1,1) \end{eqnarray}$ geht es ganz einfach: $\begin{eqnarray} \gamma_2: \ \ x = 0 \, , \ y = 1 \, , \ z = t \, ; \ \ 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ Und darauf kommt man durch elementare Geometrie: die Strecke zwischen den Punkten mit den Ortsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{q} \end{eqnarray}$ wird beschrieben durch $\begin{eqnarray} \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \left( \vec{q} - \vec{p} \right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ . Das ist die bekannte Geradengleichung aus der Schule. Da $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nur das Einheitsintervall durchläuft, erhält man nur die Strecke. Der Gesamtweg ist nun $\begin{eqnarray} \gamma = - \gamma_1 + \gamma_2 \end{eqnarray}$ , das Integral also $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} \omega = - \int_{\gamma_1} \omega + \int_{\gamma_2} \omega \ \ \text{mit} \ \ \omega = y~\dd x + \operatorname{e}^y~\dd y + z~\dd z \end{eqnarray}$ Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray} \operatorname{e} - \frac{7}{6} \end{eqnarray}$ .
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21.02.2011, 18:19	<(_)>	Auf diesen Beitrag antworten »
ja danke dir für die erklärung habe es heute sogar schon alleine hinbekommen ehe ich das gelesen habe aber trotzdem nochmal ein dankeschön!

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