Flußintegral

20.02.2011, 17:49	thorsten1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Flußintegral Hallo, diese Aufgabe verwirrt mich total http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...g/interaufg538/ Wie soll man denn das auf das Ergebnis bei der a) auf pi/3 kommen? Grüße
21.02.2011, 09:51	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann sich den Kegel als "Sieb" vorstellen, durch das eine Flüssigkeit mit der Stromdichte $\begin{eqnarray} \vec F=(y,y,0) \end{eqnarray}$ strömt. Zu berechnen ist die durchgeströmte Flüssigkeitsmenge pro Sekunde, die man als Fluss $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ (=Fluss) bezeichnet. Mit dem Gaußschen Satz erhält man ohne Rechnung $\begin{eqnarray} \Phi=\iint \vec F\,\,d\vec A=\iiint div(\vec F)\,\,dV=\iiint \underbrace{div(y\|y\|0)}_{=1}\,\,dV=V \end{eqnarray}$ Das Integral ergibt also nichts anderes als das Kegelvolumen. Der Kegel hat den Radius r=1 und die Höhe h=1. Es kommt also genau das heraus, was du angegeben hast. (Man darf hier übrigens den Gaußschen Satz anwenden, weil der Fluss durch die Kreisfläche verschwindet, denn diese liegt parallel zur Flussdichte). Beim 2.Integral erhält man mit dem Stokeschen Satz (weil der Mantel und die Kreisfläche die gleiche Randkurve haben) $\begin{eqnarray} \left \| \iint_{\text{Mantel}} rot(\vec F)\,\, dA \right \|=\left \| \iint_{\text{Kreisfläche}} rot(\vec F)\,\,dA\right \| \end{eqnarray}$ Der Integrand ergibt den konstanten Vektor $\begin{eqnarray} rot(\vec F)=(0\|0\|-1) \end{eqnarray}$ , der senkrecht auf der Kreisfläche steht. Man kann das Integral also als Fluss einer konstanten Stromdichte der Stärke (-1) interpretieren, die senkrecht durch einen Kreis fließt, also $\begin{eqnarray} \Phi=\left \| \iint_{\text{Kreisfläche}} dA\right \|=A \end{eqnarray}$ Der Fluss ist also nicht anderes als die Fläche eines Kreises mit dem Radius r=1.
21.02.2011, 13:54	thorsten1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Erklärung. Aber das habe ich nicht verstanden: Man darf hier übrigens den Gaußschen Satz anwenden, weil der Fluss durch die Kreisfläche verschwindet, denn diese liegt parallel zur Flussdichte. bzw. bei unseren Klausuren ist das immer angegeben, ob ich Gauss verwenden soll oder nicht. Deswegen frage ich mich manchmal, wenn das nicht angegeben ist, woran sehe ich denn ob ich Gauss oder Stokes verwenden kann, also an der Aufgabe an sich??? Grüße
22.02.2011, 09:24	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner Frage: Mit dem Gaußschen Satz wandelt man ein Oberflächenintegral in Volumenintegrale für das eingeschlossene Gebiet um. Man benötigt also eine geschlossene Fläche (z.B. eine Kugelfläche, eine Kegeloberfläche usw.) Mit dem Stokeschen Satz wandelt man ein Kurvenintegral in ein Flächenintegral für die eingeschlossene Fläche um. Man benötigt also eine geschlossene Kurve (z.B. einen Kreis) In deiner Aufgabe haben wir eigentlich keine geschlossene Fläche, denn es soll nur über den Kegelmantel integriert werden (also ohne die Kreisfläche). Wir integrieren aber trotzdem über die gesamte Kegelfläche (Mantel und Kreis). Das ist möglich, weil das Integral über den Kreis keinen Beitrag zum Gesamtfluss liefert, denn die Flussrichtung verläuft parallel zur Kreisfläche. Die Strömung "fließt also am Kreis vorbei", ohne ihn zu durchströmen.

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