Grenzwert einer geometrische Reihe

20.02.2011, 18:21

Omikron

Grenzwert einer geometrische Reihe

Meine Frage:
Hallo,

ich muss folgende Aufgabe zwecks Klausurvorbereitung lösen:
Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{3\cdot 3^{k+1}+ (-2)^{2k} }{2^k\cdot 3^k+7\cdot 6^k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Anmerkung steht weiter, das ich zur Lösung die Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe benutzen soll. Allerdings wurde dies nie in der Vorlesung besprochen. Vlt. jemand von Euch ein Lösungsvorschlag mit Erklärung??

20.02.2011, 18:26

HAL 9000

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Zu Beginn solltest du dein Augenmerk auf eine Vereinfachung (Zusammenfassung) des Nenners

$\begin{eqnarray*} 2^k\cdot 3^k+7\cdot 6^k \end{eqnarray*}$

richten. Dabei, und auch anschließend an die Potenzgesetze denken!

21.02.2011, 09:51

Ungleichung

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Also nach Umformung unter Berücksichtigung der Potenzgesetzte sieht das ganze so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{9\cdot 3^k+4^k}{8\cdot 6^k} \end{eqnarray*}$

und was als nächstes? 6^k ausklammern führt zu keinem Ergebniss

21.02.2011, 09:59

kurellajunior

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Die Summe oben im Zähler stört etwas.

Ein Idee wie man nur noch Brüche erhält deren Zähler nur einen Summanden enthalten?

PS: warum zwei Accounts? Wenn beide Deine sind, bitte für einen entscheiden.

21.02.2011, 10:12

Ungleichung

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also ich habe jetzt 6^k als höchste Potenz ausgeklammert und rausgekürzt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{9\cdot (\frac{1}{2}^k) }{8} + \frac{(\frac{2}{3}^k) }{8} \end{eqnarray*}$

was mich im nächsten Schritt zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{8}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2}^k + \frac{1}{8} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{2}{3}^k \end{eqnarray*}$

In der Musterlösung folgt direkt die Antwort mit : $\begin{eqnarray*} \frac{21}{8} \end{eqnarray*}$

Doch genau diesen Schritt verstehe ich nicht.

21.02.2011, 10:28

kurellajunior

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Was Du also brauchst ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$ ?
Den ersten kannst Du in einem guten Tafelwerk finden smile

21.02.2011, 10:39

Ungleichung

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Ich merk schon ...

Echt schwer ne hilfreiche Antwort zu erhalten. Ich hab noch gefühlte 250 andere Aufgaben zu rechnen und wollte nur schnell einen Hilfestellung zu diesem einem Zwischenschritt. Aber hoffe wohl vergebens.

21.02.2011, 10:43

kurellajunior

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Heißt das die Grenzwerte für
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k = ? \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^k=? \end{eqnarray*}$
sind dir nicht bekannt? Denn dann müssten wir dort helfen. Deine Musterlösung scheint diese Grenzwerte als bekannt vorauszusetzen.

Guck mal hier Wikipedia

21.02.2011, 11:00

Ungleichung

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Besten Dank, genau die Formel für die Grenzwerte einer geometrischen Reihe haben mir gefehlt. Und gegeben war leider nichts. Aber mit der Formel komme ich jetzt natürlich auf die Lösung. Also Aufage abgeschloßen, vielen Dank

21.02.2011, 11:09

kurellajunior

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Falls Du an der Herleitung interessiert bist (kann ja sein) mach einfach einen neuen Thread auf smile

21.02.2011, 12:53

mYthos

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Zitat:

Original von Ungleichung
Ich merk schon ...

Echt schwer ne hilfreiche Antwort zu erhalten. Ich hab noch gefühlte 250 andere Aufgaben zu rechnen und wollte nur schnell einen Hilfestellung zu diesem einem Zwischenschritt. Aber hoffe wohl vergebens.

Das ist eine ziemlich unhöfliche Bemerkung deinerseits. Das wird vermutlich einige Helfer davon abhalten, dir noch weitere Hilfeleistungen zu geben.

Riskiere doch einmal einen Blick in unser Boardprinzip bzw. die Boardregeln.

UND:

Zitat:

Original von kurellajunior
...
warum zwei Accounts? Wenn beide Deine sind, bitte für einen entscheiden.

mY+

21.02.2011, 14:15

kurellajunior

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Das ist eine ziemlich unhöfliche Bemerkung deinerseits. Das wird vermutlich einige Helfer davon abhalten, dir noch weitere Hilfeleistungen zu geben.
[...]
mY+

hatte heute gute Laune smile

21.02.2011, 14:35

Ungleichung

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Wenn es irgendwie Unhöflich rüberkam, dann entschuldige ich mich dafür. Der Prüfungstress (3 Klausuren in einer Woche) macht einen wesentlich ungeduldiger und angespanner als man sein sollte geschockt

21.02.2011, 14:47

kurellajunior

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Zitat:

Original von Ungleichung
Wenn es irgendwie Unhöflich rüberkam, dann entschuldige ich mich dafür. Der Prüfungstress (3 Klausuren in einer Woche) macht einen wesentlich ungeduldiger und angespanner als man sein sollte geschockt

Angenommen, und nix passiert Augenzwinkern

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