Komplexer Logarithmus

20.02.2011, 19:36

+-*/

Komplexer Logarithmus

Hallo,

ich sitze gerade an der Prüfungsvorbereitung und finde zu einer Aufgabe keine Lösung mehr. Und zwar:

Man zeige, dass die komplexe Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=Log(z) \end{eqnarray*}$ bis auf die Punkte der negativen reellen Achse holomorph ist und bestimme $\begin{eqnarray*} f'(z) \end{eqnarray*}$ .

Also für Holomorphie müssen doch die Cauchy-Riemann Gleichungen erfüllt sein. Die haben wir in Kartesischer und Polarkoordinatenform gegeben bekommen.
Ich denke für die Anwendung sind die in Polarkoordinaten besser. Aber wenn ich die aufstelle sehe ich keinerlei Einschränkungen der Holomorphie.

Könnte mir das bitte jemand erklären? Vorweg ich bin kein Mathematiker wir haben das nur als Nebenfach. Also bitte nicht zu hoch mathematisch erklären.

20.02.2011, 22:03

Leopold

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RE: Komplexer Logarithmus

Zitat:

Original von +-*/
Könnte mir das bitte jemand erklären?

Das kann man nur, wenn du uns erklärst, welche Definition des komplexen Logarithmus dir geläufig ist. Sonst geht es nicht.

21.02.2011, 10:17

+-*/

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Also wir hatten folgendes, wenn du das meinst:

$\begin{eqnarray*} Log \ z=\ln |z| + i \cdot \arg z \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} z \neq 0, -\pi < \arg z \le \pi \end{eqnarray*}$ )

21.02.2011, 23:05

Leopold

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Dann sollst du vermutlich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nachrechnen. Für kanonisch $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} u = u(x,y) = \ln |z| = \frac{1}{2} \ln \left( x^2 + y^2 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = v(x,y) = \arg z = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & \mbox{für} \ \ x>0 \\ \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{x}{y} & \mbox{für} \ \ y>0 \\ - \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{x}{y} & \mbox{für} \ \ y<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wo bei dieser Darstellung von $\begin{eqnarray*} \arg z \end{eqnarray*}$ mehrere Bedingungen gleichzeitig zutreffen, liefern die Terme denselben Wert, so daß keine Widersprüche auftreten.

Jetzt überprüfe die partiellen Ableitungen: $\begin{eqnarray*} u_x = v_y \, , \ u_y = - v_x \end{eqnarray*}$

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