Tangentengleichung

20.02.2011, 23:01	Kallisto	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentengleichung Meine Frage: Bei der Tangentengleichung $\begin{eqnarray} y \, = \, f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) \end{eqnarray}$ verstehe ich nicht so recht, warum es $\begin{eqnarray} (x-x_0) \end{eqnarray}$ heißt und nicht nur x, denn die Standardform ist doch immer t(x)= mx+c ? Gibt es einen Fall, bei dem das eine Rolle spielt? Meine Ideen: -
20.02.2011, 23:16	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst obige Gleichung ja Umformen zu mx+c, da $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'(x_0) \end{eqnarray}$ Konstanten sind. Du musst beachten, dass das c in der Gleichung mx+c den "y-Achsenabschnitt" angibt, jedoch das $\begin{eqnarray} f(x_0) \end{eqnarray}$ etwas anderes ist. Du müsstest praktisch erst den Schnittpunkt mit der 2. Achse bestimmen (und der ist $\begin{eqnarray} c = f(x_0) - x_0 \cdot f'(x_0) \end{eqnarray}$ ). Und das ist genau das, was direkt in der Formel enthalten ist. Dann bleibt wie gehabt nur noch das $\begin{eqnarray} mx = f'(x_0) \cdot x \end{eqnarray}$ übrig, und das ist ja genau das, was auch in mx+c steht.
20.02.2011, 23:27	Kallisto	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was wäre jetzt wenn ich z.B. von einem Punkt P(2\|4) die Tangentengleichung bestimmen soll? Dann müsst ich ja da stehen haben (x-2) oder nicht? Das ist meine eigentliche Frage, denn ich hatte gerade eine Aufgabe mit P(0\|7), da is ja klar, dass ich für x_0 Null einsetze. Was würde aber bei o.g. Beispiel passieren?
20.02.2011, 23:36	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also P = (2, 4) liegt aber schon auf dem Graphen, richtig? D.h. Du hast den Punkt P = (2, f(2)). Und dann setzt Du $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \end{eqnarray}$ einfach in die Tangentengleichung ein von oben. Dann berechnet sich ein y-Achsenabschnitt von $\begin{eqnarray} c = f(2) - 2 \cdot f'(2) = 4 - 2 f'(2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m = f'(2) \end{eqnarray}$ . In der Regel sagt man einfach "Bestimmen der Tangente an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ", weil die zweite Koordinate (in Deinem Fall die 4) natürlich auf dem Graphen liegen muss und sich somit durch Angabe von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ergibt.
20.02.2011, 23:50	Kallisto	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh ich blick bei deinen Variablen irgendwie nich durch ^^ ich schreibs mal so auf: Angenommen $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ = 2: $\begin{eqnarray} y \, = \, f(2) + f'(2) \cdot (x-2) \end{eqnarray}$ Bei meiner vorherigen Aufgabe hatte ich als $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ = 0, da war klar, dass da nur noch ein x stehen bleibt und ich auf die Form t(x)= mx+c komme. Wie ist es aber hier mit dem (x-2)? Muss ich dann die Klammer auflösen und weiter umformen?
20.02.2011, 23:52	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn Du die Form mx+c haben willst, löse einfach die Klammern auf und sortiere es um. Wir können die Tangentengleichung auch so formulieren: $\begin{eqnarray} t(x) := [f(x_0) - x_0\cdot f'(x_0)] + f'(x_0) \cdot x \end{eqnarray}$ Das ist das selbe, was oben steht, und hier hast Du direkt die Anordnung $\begin{eqnarray} t(x) = c+mx \end{eqnarray}$
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20.02.2011, 23:54	Kallisto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, danke. Da hatte ich ja Glück, dass ich schon aufhören konnte. War halt nur etwas verwirrt, weil man ja normalerweise immer nur das eine x stehen hat. Naja danke für deine Hilfe und ne gute Nacht!
20.02.2011, 23:57	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne, gute Nacht! Wie gesagt, nicht das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ mit dem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ verwescheln. Das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist eine Konstante während das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ der Parameter der Funktion ist.

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