Quadrieren ohne Wertänderung

29.11.2006, 00:45

El_Snyder

Quadrieren ohne Wertänderung

Hallo, ich bräuchte mal kurz Hilfe, steh wieder ein wenig auf dem Schlauch smile

Ich habe folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \omega = \sqrt{z^2 + \frac{a^2}{4m^2} - \frac{a}{m}} \end{eqnarray*}$

Gibt es eine Möglichkeit, den Bruch a/m vom vorangehenden abzuziehen? Wie kann ich a/m umschreiben, dass a² im zähler steht, sich der wert des Bruchs jedoch nicht verändert?

29.11.2006, 00:56

mYthos

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RE: Quadrieren ohne Wertänderung

Zitat:

Original von El_Snyder
...
Wie kann ich a/m umschreiben, dass a² im zähler steht, sich der wert des Bruchs jedoch nicht verändert?

Wenn a² im Zähler stehen soll, dann m.a im Nenner, anders geht's nicht. Oder du bringst auf einen gemeinsamen Nenner. Eigenartig an der Formel erscheint, dass die ersten zwei Brüche quadratisch, der letzte jedoch linear ist. Das passt nicht zusammen. Falls die Beziehung eine Eigenkreation von dir sein sollte, wäre eine Überprüfung anzuraten.

mY+

29.11.2006, 01:04

El_Snyder

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das ganze kommt aus der physik ^^

beim lösen einer differenzialgleichung bin ich auf dieses ergebnis gekommen. richtig ist es:

$\begin{eqnarray*} \omega = \sqrt{\omega_0^2 - k^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k = \frac{a}{2m} \end{eqnarray*}$

29.11.2006, 01:34

derkoch

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was genau willst du denn mit der gleichung machen? irgendetwas ausrechnen oder einen vergleich/beziehung zwischen den größen? verwirrt

29.11.2006, 01:37

El_Snyder

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naja, es ging sich darum, dass ich am ende auf die lösung

$\begin{eqnarray*} \omega = \sqrt{\omega_0^2 - k^2} \end{eqnarray*}$

komme. ich bin auf

$\begin{eqnarray*} \omega = \sqrt{\omega_0^2 + \frac{a^2}{4m^2} - \frac{a}{m}} \end{eqnarray*}$

gekommen und wollte jetzt wissen, ob das die lösung ist oder nicht

anscheinend hab ich mich irgendwo verrechnet smile

29.11.2006, 01:49

derkoch

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augenblick! krame mal kurz meine alten unterlagen raus, wenn ich sie noch finde! smile

29.11.2006, 01:56

derkoch

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so, hab gerade noch ein paar zettelchen aus meiner alten mappe gefunden, hoffe die reichen aus um etwas zsammen zu basteln!

welchen ansatz hast du denn gemacht, daß du auf deine gleichung , im ersten posting, gekommen bist?

29.11.2006, 02:09

El_Snyder

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es handelt sich hierbei um eine gedämpfte schwingung eines federpendels. die differenzialgleichung lautet

$\begin{eqnarray*} s''(t) + \frac{D}{m} s(t) + \frac{a}{m} s'(t) = 0 \end{eqnarray*}$

wobei a die dämpfungskonstante ist.

mein lösungsansatz lautet:

$\begin{eqnarray*} s(t) = A \cdot e^{-kt} \cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

mit den entsprechenden ableitungen

$\begin{eqnarray*} s'(t) = - A * k * e^{-kt} * \sin(\omega t) + A * \omega * e^{-kt} * \cos(\omega t) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} s''(t) = -2 \cdot [A \cdot k \cdot \omega \cdot e^{-kt} \cdot \cos(\omega t)] + Q(t) \cdot (k^2 - \omega^2) \end{eqnarray*}$

diese hab ich jetzt in die differenzialgleichung eingesetzt und vereinfacht, verglichen etc..

29.11.2006, 02:36

derkoch

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ich würde hier anders ansetzen. Die gedämpfte schwingung liegt ja so vor:

$\begin{eqnarray*} \ddot X(t)+2 \delta \dot X(t)+\omega_o^2=0 \end{eqnarray*}$

das ist ja eine homogen dgl!

als erstes löst du die chrakteristische gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^2+2 \delta \lambda+\omega_0^2 =0 \end{eqnarray*}$

29.11.2006, 02:42

El_Snyder

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hmm... also das sagt mir jetzt eigentlich nichts Big Laugh

weder homogene dgl, noch charakteristische gleichung, von selbigen noch abgesehen ^^

wir sind das ganze mit der grundgleichung der mechanik angegangen, wobei a als beschleunigung ja die zweite ableitung des weges (nach der zeit) ist.

ich hab auch jetzt leider keine zeit mehr, in etwas mehr als 7 stunden schreib ich die physik klausur smile

trotzdem vielen dank! smile

29.11.2006, 03:12

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \lambda^2+2 \delta \lambda+\omega_0^2 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}= -\delta \pm \sqrt{\delta^2-\omega_0^2} \end{eqnarray*}$

mit Eigenfrequenz

$\begin{eqnarray*} \omega_d^2= \delta^2-\omega_0^2= - (\omega_0^2-\delta^2) \quad \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}= -\delta \pm \sqrt{-\omega_d^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}= -\delta \pm j\cdot \omega_d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t) = C_1 \cdot e^{-\delta t} \cdot sin(\omega_ d\cdot t)+ C_2 \cdot e^{-\delta t} \cdot cos(\omega_ d\cdot t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{-\delta t} [ sin(\omega_ d\cdot t)+ cos(\omega_ d\cdot t)] \end{eqnarray*}$

so ist die gleichung für eine gedämpfte schwingung!
ich habe "deine" vorgehensweise nicht nach geschaut, war doch bißchen zu faul das ganze aufm zettel hinzupinsel! Big Laugh

hoffe du kannst was damit anfangen! viel glück für die arbeit ! Freude

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