Lösung einer Gleichung mit der Besselfunktion...

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21.02.2011, 11:18	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung einer Gleichung mit der Besselfunktion... Hallo, habe hier folgende Gleichung mit einer Besselfunktion. Berechnet wird hier die Temperatur an einer bestimmten Stelle r zur einer bestimmten Zeit tau (dimenstionslos). [attach]18246[/attach] Zur Kontrolle: Ich weiß, dass bei einer Zeit tau=0,2 und einem Radius r=0,2 das Eregbnis gleich 0,188100 ist. Kann mir jemand erklären, wie man bei der Lösung vorgeht? So wie ich das verstehe, muss zuserst die rechts stehende Gleichung gelöst werden, die Eregbnisse (mehrere?!) werden dann in der linken Gleichung summiert?! Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe!
21.02.2011, 11:56	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich vergessen hatte zu erwähnen ist, das H0=0,5 ist! Ich verstehe das dann so, dass man die rechte Gleichung so umstellt: $\begin{eqnarray} \frac{k_n\cdot J_1(k_n)}{J_0(k_n)}=0,5 \end{eqnarray}$ Nun müssen alle positiven kn gefunden werden, mit denen die Gleichung 0,5 ergibt. Diese positiven kn werden dann in der linken Gleichung summiert. Wie löse ich die oben stehende Gleichung nach kn auf? Danke
21.02.2011, 12:20	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die transzendente Gleichung muss man numerisch lösen. $\begin{eqnarray} k_n\cdot J_1(k_n)=H_0 \cdot J_0(k_n) \end{eqnarray}$ Dazu betrachtet man z.B. die beiden Seiten dieser Gleichung als separate Funktionen $\begin{eqnarray} y_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_0(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y_1(x)=x\cdot J_1(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_0(x)=H_0\cdot J_0(k_n) \end{eqnarray}$ Die darin vorkommenden Besselfunktionen lauten (Siehe z.B. Bronstein) $\begin{eqnarray} J_0(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!k!}\left (\frac{x}{2}\right )^{2k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J_1(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(k+1)!}\left (\frac{x}{2}\right )^{2k+1} \end{eqnarray}$ Wenn man damit die obigen Funktionen $\begin{eqnarray} y_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_0(x) \end{eqnarray}$ grafisch darstellt, so sind x-Werte der Schnittpunkte offenbar die gesuchten Werte $\begin{eqnarray} k_n \end{eqnarray}$ . Das wäre ein erster Vorschlag zu deren numerischen Bestimmung. Vielleicht gehts es aber auch einfacher.
21.02.2011, 12:23	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal für deine Antwort! Soweit ich weiß, kann man die Gleichung auch einfacher, als nicht numerisch lösen...wie ist allerdings noch die Frage...
21.02.2011, 12:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade, dass folgende nützliche Beziehung zwischen den Besselfunktionen $\begin{eqnarray} J_0(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} J_1(x) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} J_1=-\frac{dJ_0}{dx} \end{eqnarray}$ Einsetzen in die Gleichung $\begin{eqnarray} k_n\cdot J_1(k_n)=H_0\cdot J_0(k_n) \end{eqnarray}$ ergibt eine Differenzialgleichung $\begin{eqnarray} k_n\cdot J'_0(k_n)+H_0\cdot J_0(k_n)=0 \end{eqnarray}$
21.02.2011, 13:28	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was bekommst du für kn raus, wenn du für H0=0,5 setzt?
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21.02.2011, 14:31	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Für kn bekomme ich 0,9408 heraus, dann stimmt auch die Differenzialgleichung ?! Aber warum ist die rede von "alle positiven Lösungen"? Hier gibts doch nur 0,9408...
22.02.2011, 10:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Löse doch mal die Differenzialgleichung nach der Besselfunktion $\begin{eqnarray} J_0 \end{eqnarray}$ auf und stelle beide Seiten der Lösung $\begin{eqnarray} J_0=... \end{eqnarray}$ grafisch dar. Dann sieht man, dass unendlich viele Lösungen existieren. Das sind gerade die x-Werte der Schnittpunkte beider Seiten von $\begin{eqnarray} J_0=... \end{eqnarray}$ . Die Besselfunktion $\begin{eqnarray} J_0(x) \end{eqnarray}$ "sieht etwa so aus" wie die Kosinusfunktion. Die Amplitude von $\begin{eqnarray} J_0 \end{eqnarray}$ ist aber im Gegensatz zum Kosinus nicht konstant und die Nullstellen von $\begin{eqnarray} J_0 \end{eqnarray}$ haben nicht den gleichen Abstand wie der Kosinus.
22.02.2011, 10:24	Kaffee46	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das habe ich mittlerweile auch rausgefunden, es gibt (undendlich) viele Lösungen, die dann in der linken Gleichung summiert werden müssen... Die Frage ist nur, wie man diese vielen Lösungen ausrechnet. Das ist zur Zeit meine Aufgabe, die ich in Fortran programmieren muss...über weitere Hilfe wäre ich sehr danbar.
22.02.2011, 11:50	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Programmie die Besselfunktion $\begin{eqnarray} J_0(x) \end{eqnarray}$ anhand der Reihe, die ich dir genennt habe. Einige Funktionwerte und die Nullstellen dieser häufig gebrauchten Funktion findest du z.B. im "Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein/Semendjajew. Dort ist auch das Schaubild von $\begin{eqnarray} J_0(x) \end{eqnarray}$ dargestellt. Wenn man die Nullstellen hat, ist es mittels numerischer Intervallschachtelung nicht mehr schwierig, die gesuchten Lösungen der transzendenten Gleichung numerisch zu berechnen.

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