logarithmisches Ableiten

21.02.2011, 11:48

TT1989

logarithmisches Ableiten

Das Taylorpolynom folgender Funktion ist anzugegeben:

f(x)= (1/x)^(1/x)

Ich könnte die Funktion ja jetzt nach der Rechenregel x^y=y*ln(x) umformen, so das sich folgendes ergibt:

(1/x)*ln(1/x). Wenn ich diesen Term nun mit der Produktregel ableite, erhalte ich:

-(1/x²)*ln(1/x)+(1/x)*x=-(1/x²)*ln(1/x)+1

die zweite Ableitung würde ergeben:

(2/x³)*ln(1/x)+(-1/x²)*x

Wenn ich jetzt allerdings das Taylorpolynom 2. Grades bestimmen möchte für x0=1 erhalte ich untschiedliche Lösungen.

Für die ursprüngliche Funktion erhalte ich f(1)=1^1, aber für den logarithmierten Term hätte ich 1/1*ln(1). Kann mir jemand sagen, wo ich einen Fehler mache bzw. ist das Ableiten auf diese Art überhaupt zulässig?

Danke im Voraus.

21.02.2011, 11:52

Mazze

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Zitat:

Ich könnte die Funktion ja jetzt nach der Rechenregel x^y=y*ln(x) umformen, so das sich folgendes ergibt:

Diese Rechenregel ist falsch. Nach dieser Rechenregel wäre

$\begin{eqnarray*} 1 = 1^1 = 1 * \ln(1) = 1*0 = 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Von daher sind deine Überlegung nach Anwenden dieser "Regel" hinfällig. Was Du tatsächlich meinst ist :

$\begin{eqnarray*} x^y = e^{\ln(x^y)} = e^{y\ln(x)} \end{eqnarray*}$

Und dieses dürfte dich auch zum Ziel führen.

21.02.2011, 12:07

TT1989

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Danke für Deine Antwort.

Die Regel, die du genannt hast, kenne ich, allerdings verwirrt mich, dass ich in meinem Skript folgendes Beispiel zum logarithmischen Ableiten vorfinde. Ich habe den Teil des Skripts mal als Bild hochgeladen.

http://img25.imageshack.us/img25/1636/mathen.jpg

Wieso kann ich die Regel in dem Beispiel auf diese Weise anwenden?

21.02.2011, 12:11

Mazze

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Für

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

wäre dann die Logarithmische Ableitung :

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) * (\log(|f(x)|))' \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 12:23

TT1989

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Danke.

Hatte ich denn den Term [ln(f(x))]´ richtig abgeleitet?

Außerdem verstehe ich immer noch nicht, wann man ln(f(x)) und wann e^y*ln(x) verwenden muss bzw. ob es das gleiche ist?

Wenn ich f(x)=e^(1/x)*ln(1/x) ableite, bekomme ich:

f(x)*(-1/x²)*ln(1/x)+1 heraus. Ist das korrekt und falls ja, wieso ist das dasselbe wie (1/x)^(1/x)*(-1/x²)*ln(1/x)+1 ?

21.02.2011, 12:33

Mazze

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Zitat:

Hatte ich denn den Term [ln(f(x))]´ richtig abgeleitet?

Du hast bei der Produktregel die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

falsch bestimmt. Denk an die Kettenregel oder nutze die Logarithmusgesetze geschickt!

Zitat:

Außerdem verstehe ich immer noch nicht, wann man ln(f(x)) und wann e^y*ln(x) verwenden muss bzw. ob es das gleiche ist?

Grundsätzlich sind beides nur Umformungen, die unter gewissen Umständen gemacht werden dürfen. Im Allgemeinen gilt

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\ln(f(x))} \end{eqnarray*}$

für alle Funktion, allerdings nur dort, wo $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ ist. (Denn sonst ist der Logarihmus nicht definiert).

Genau das gleiche gilt für das logarithmische Ableiten, es ist für alle differenzierbaren Funktionen auf den entsprechenden Definitionsbereichen (|f(x)| > 0 und dort diff'bar)

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x)\log(|f(x)|)' \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 12:48

TT1989

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Ah ok, die Kettenregel hatte ich überhaupt nicht gesehen.

Also wäre die Ableitung von ln(1/x)= 1/(1/x)*(-1/x²)=x*(-1/x²)=-1/x

Stimmt das?

21.02.2011, 12:51

Mazze

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Ja, ich häts so gemacht :

$\begin{eqnarray*} \log\left(\frac{1}{x}\right)' = \log\left(x^{-1}\right)' = (-\log(x))' = -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Kommt aber aufs gleiche hinaus, nur man verzettelt sich weniger.

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