Der liebe Grenzwert

29.11.2006, 00:46

zeusosc

Der liebe Grenzwert

Ich habe hier eine ganz schicke Aufgabe:
(erstmal die bedingungen: )
$\begin{eqnarray*} \text{Sei } f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ eine Abbildung, so dass }q\in\mathbb{R}\text{ mit }0<q<1\text{ existiert und }\forall x_1,x_2\in\mathbb{R}\text{ gilt:} |f(x_1)-f(x_2)|\leq q|x_1-x_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Sei die Folge } (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{ definiert durch }(a_0)\in\mathbb{R}\text{ beliebig und } a_{n+1}=f(a_n)\text{ für } n\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$
(jetzt die aufgabe: )
$\begin{eqnarray*} \text{Zeigen Sie, dass die Folge }(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{ für jedes beliebige} (a_0)\in\mathbb{R}\text{ gegen denselben Grenzwert }a\in\mathbb{R}\text{ konvergiert, und dass }f(a)=a\text{ gilt.} \end{eqnarray*}$

einsetzen bringt:
$\begin{eqnarray*} |f(a_n)-f(a_{n+1})|\leq q|a_n-a_{n+1}| \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} a=q \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} 0<\frac{\overbrace{|f(a_n)-f(a_{n+1})|}^{\neq 0}}{|a_n-a_{n+1}|}\leq a<1 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} f(a)=a \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{|f(a_n)-f(a_{n+1})|}{|a_n-a_{n+1}|}\leq f(a) \end{eqnarray*}$

ich weiß jetzt aber net wie ich das beliebige a_0 einbinden soll.. hilfe... traurig

29.11.2006, 01:19

Mathespezialschüler

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Hallo!
Was du da machst, ist teilweise falsch, und außerdem verstehe ich nicht, was das bringen soll.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|=|f(a_n)-f(a_{n-1})|\leq q|a_n-a_{n-1}| \end{eqnarray*}$ .
Mit dieser Eigenschaft kannst du jetzt folgern, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge sein muss.

Gruß MSS

29.11.2006, 13:39

zeusosc

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und wie??? immerhin soll noch das beliebige a_0 rein!!
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edit:
ok, also da mir nicht wirklich in den sinn kam wie man daraus "einfach so" folgern kann dass es eine Cauchyfolge ist, habe ich nun folgendes probiert:
$\begin{eqnarray*} \text{Angenommen } (a_n)\text{ ist keine Cauchy-Folge : } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \neg\forall\epsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n>N:|a_{n+1}-a_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists\neg\epsilon >0\forall N\in\mathbb{N}\exists n>N:|a_{n+1}-a_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\exists\epsilon >0\forall N\in\mathbb{N}\exists n>N:|a_{n+1}-a_n|\geq\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\epsilon\leq|a_{n+1}-a_n|=|f(a_n)-f(a_{n-1})|\leq q|a_n-a_{n-1}|\geq q\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\epsilon\leq q|a_n-a_{n-1}|\geq g\epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ es ergeben sich zwei fälle: } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ Fall 1: } |a_n-a_{n-1}|\geq \epsilon\geq\frac{\epsilon}{q}\text{ wahr falls :}q\geq 1\text{ widerspruch...} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ Fall 2: } |a_n-a_{n-1}|\geq\frac{\epsilon}{q}\geq \epsilon\text{ wahr falls: } |a_n-a_{n-1}|\geq 1\text{widerspruch zu :} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_n -a_{n-1}|\leq q|a_{n-1}-a_{n-2}|\forall q\in(0,1):n>N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ Also ist } (a_n) \text{ eine Cauchy-Folge...} \end{eqnarray*}$
oder??

29.11.2006, 16:52

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\epsilon\leq q|a_n-a_{n-1}|\geq g\epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist eine vollkommen sinnlose Ungleichung! Was sagt dir das? Du kannst nicht $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b\geq c \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a\leq b\geq c \end{eqnarray*}$ kombinieren!
Desweiteren sehe ich im folgenden Verlauf keinen Widerspruch. Warum sollte denn deiner Meinung nach

$\begin{eqnarray*} q|a_n-a_{n-1}|\geq q\varepsilon \end{eqnarray*}$

gelten?

Und selbst wenn es einen Widerspruch gäbe, hättest du noch nicht bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist! Dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist, bedeutet nämlich:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_m-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Diese Aussage müsstest du verneinen und dann einen Widerspruch folgern. Du hast aber folgende Aussage verneint:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ n>N\ :\ |a_{n+1}-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Diese beiden Aussagen sind nicht äquivalent!
Für den Beweis, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist, siehe hier oder hier.

Gruß MSS

29.11.2006, 17:48

zeusosc

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ja gut aber:
$\begin{eqnarray*} m,n>N,\text{ da } n>N \text{ und } n+1>n \text {da } n\in\mathbb{N}\Rightarrow n+1>N\text{ was bedeutet das in der Bedingung nur } n>N \text{ zu zeigen währe oder ?? } \end{eqnarray*}$
mfg und schon mal danke für deine gedult... smile

29.11.2006, 18:25

Mathespezialschüler

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Ja, das ist ja richtig. Das ist aber damit nicht äquivalent. Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Aussage

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_m-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Aussage

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ n>N\ :\ |a_{n+1}-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt, wie du gerade gezeigt hast: $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} B\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ gilt nicht, wie z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=\ln n \end{eqnarray*}$ zeigt!
Damit sind diese beiden Aussagen nicht äquivalent!

Gruß MSS

29.11.2006, 21:33

zeusosc

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$\begin{eqnarray*} \text{ soooo, also erstmal n zitat als vorbereitung (da ein bisschen editiert bitte nochmal durchlesen, falls ich fehler gemacht habe),} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{und unten setze ich wieder an...} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \text{Wir betrachten erst einmal für beliebige }m,n\in\mathbb{ N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ den Term} |a_m-a_n| \text{und nehmen an, dass }m>n\text{ist.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Dann gilt: }|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+a_{m-2}\mp\ldots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Ok aus der Dreiecksungleichung folgt :} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right| \leq \sum_{k=n}^{m-1}~|(a_{k+1}-a_k)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Also damit dann :} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(a_m-a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})\mp\ldots+(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |(a_m-a_{m-1})|+|(a_{m-1}-a_{m-2})|\mp\ldots+|(a_{n+2}-a_{n+1})|+|(a_{n+1}-a_n) | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Durch anwenden von:}|a_{k+1}-a_k|\leq q|a_k-a_{k-1}|\text{ folgt: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{n+3}-a_{n+2}|\leq q|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq q^2|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq q|a_{n+k}-a_{n+k-1}|\leq\ldots\leq q^k|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Nun gilt: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=n}^{m-1}~(a_{k+1}-a_k)\right|\leq\sum_{k=n}^{m-1}~|a_{k+1}-a_k|=\sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Weiter gilt nun durch anwenden der gezeigen Ungleichung\textbf{en} :} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~|a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k|a_{n+1}-a_n|=|a_{n+1}-a_n|\cdot\sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k=1+q+q^2+\ldots+q^{m-n-1}=\frac{1-q^{m-n}}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Der letzte Term ist nun} <\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Daraus folgt nun :} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|\leq |a_{n+1}-a_n|\cdot \sum_{k=0}^{m-n-1}~q^k<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Da }|a_{n+1}-a_n|\leq q^n\cdot |a_1-a_0|\text{ gilt folgt :} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<|a_{n+1}-a_n|\cdot \frac{1}{1-q}\leq \frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Jetzt kommen wir endlich zur Cauchyfolgeneigenschaft, die da war:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_n-a_m|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Sei also:}\varepsilon>0\text{ beliebig.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Die }\textit{Hilfsfolge:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ist ja eine Nullfolge (mit durchgängig positiven Gliedern). D.h. zu vorgegebenem} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varepsilon>0\text{ existiert ein }N\in\mathbb N\text{ sodass }\forall n>N \text{ gilt: } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Nun gilt ja }\forall\,m,n\in\mathbb{N}\text{ mit }m>n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \text{Da }n\in\mathbb{N}\text{ gilt ja: }n+1>n\text{, da ja } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon\,\forall m>n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ gilt, folgt dass es auch }\forall n+1>n\in\mathbb{N}\text{ gelten muss} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Also :}|a_{n+1}-a_n|=|f(a_n)-f(a_{n-1})|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Daraus folgt: }(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{ ist eine Cauchy Folge.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textit{...kann man das auch verkürzen??...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Da jede Cauchy Folge Konvergiert, und unser }(a_0)\text{ beliebig ist (muss mann das noch zeigen, oder ist das ersichtlich bzw \textit{hinreichend}?),} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{existiert ein }\textit{Grenzwert } a\text{ mit}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{und es gilt }\forall\varepsilon >0\text{ und }\forall n\in\mathbb{N}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}|a_n-a|=|a-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{bzw. }\lim_{n\rightarrow\infty}|a_n-a|=\lim_{n\rightarrow\infty}|f(a_{n-1})-f(a)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Da: }\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\wedge f(a_n)=a_{n+1}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=a\Rightarrow f(a)=a \end{eqnarray*}$

währ das so richtig??
mfg

29.11.2006, 22:14

Mathespezialschüler

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Du hast leider immer noch nicht verstanden, was eine Cauchyfolge ist!

Zitat:

Original von zeusosc

Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \text{Nun gilt ja }\forall\,m,n\in\mathbb{N}\text{ mit }m>n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Was machst du da? Welches Ziel verfolgst du? verwirrt

1. Wo ist das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ geblieben?
2. Es ist zwar richtig, dass aus der letzten Ungleichung in dem Zitat folgt:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ n>N\ :\ |a_{n+1}-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ,

aber daraus folgt doch nicht, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist! Das habe ich doch oben schon gesagt und mit einem Beispiel widerlegt. Lies dir bitte noch einmal die Definition der Cauchyfolge durch. Diese lautet doch:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_m-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

und eben nicht

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ n>N\ :\ |a_{n+1}-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ !

Und dass

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_m-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt, wurde ja mit der letzten Ungleichung in dem Zitat gezeigt!

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{Da }n\in\mathbb{N}\text{ gilt ja: }n+1>n\text{, da ja } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon\,\forall m>n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ gilt, folgt dass es auch }\forall n+1>n\in\mathbb{N}\text{ gelten muss} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Also :}|a_{n+1}-a_n|=|f(a_n)-f(a_{n-1})|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Daraus folgt: }(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{ ist eine Cauchy Folge.} \end{eqnarray*}$

Diesen Zusatz kannst du also vollkommen weglassen. Er führt dich nur von der richtigen Richtung in eine sehr falsche ...

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{Da jede Cauchy Folge Konvergiert, und unser }(a_0)\text{ beliebig ist (muss mann das noch zeigen, oder ist das ersichtlich bzw \textit{hinreichend}?),} \end{eqnarray*}$

Was genau meinst du zeigen zu müssen? verwirrt

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{und es gilt }\forall\varepsilon >0\text{ und }\forall n\in\mathbb{N}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}|a_n-a|=|a-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{bzw. }\lim_{n\rightarrow\infty}|a_n-a|=\lim_{n\rightarrow\infty}|f(a_{n-1})-f(a)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

1. Was hat das $\begin{eqnarray*} \forall\ n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ da zu suchen? Und was soll das mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ? Dir ist doch klar, dass dort jeweils $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon \end{eqnarray*}$ steht oder? Diese Aussage hilft dir gar nichts ...

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{Da: }\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\wedge f(a_n)=a_{n+1}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=a\Rightarrow f(a)=a \end{eqnarray*}$

2. Wie folgt das? Du benutzt hier vom zweiten zum dritten Schritt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right) \end{eqnarray*}$ .

Damit benutzt du aber die Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Ich glaube kaum, dass du das darfst, ansonsten hättet ihr schon bewiesen haben müssen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist. Wenn du zeigen willst, dass $\begin{eqnarray*} f(a)=a \end{eqnarray*}$ ist, dann zeige zunächst, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(a) \end{eqnarray*}$ ist!

Gruß MSS

29.11.2006, 23:05

zeusosc

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$\begin{eqnarray*} \text{ naja, aus:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall m,n>N:|a_m-a_n|<\varepsilon\,\,(m\neq n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{will ich :} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n+1,n>N:|a_{n+1}-a_n|<\varepsilon\,\,(n+1\neq n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{machen (oder umgekehrt), dazu muss ich halt doch eigentlich nur erwähnen, da ja:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m>n>N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ dass dann auch gilt }n+1>n(\in\mathbb{N}),\text{da schon laut def }n>N,\text{ muss ich doch eigentlich auf dass }N\text{ keinen bezug mehr nehmen..} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Also:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n>N\, : \,|a_{n+1}-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Da }n+1\neq n\text{ gilt }\forall k\in\mathbb{N}:\,m=n+k,\text{ da ja auch gilt dass:}\forall m,n\in\mathbb{N}: m>n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n+k,n>N:|a_{n+k}-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{bzw. } \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall m,n>N:|a_{m}-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{?? oder wie ??} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Muss das noch gezeigt werden dass }(a_0)\text{ beliebig ist, bzw gewählt werden kann...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Zum Grenzwert: Da }\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\,\Rightarrow\,f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=f(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{durch die definition von } f(a_n)=a_{n+1}\,\Rightarrow\,f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=f(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a\,\Rightarrow\,f(a)=a \end{eqnarray*}$

mfg Zeusi

29.11.2006, 23:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{ naja, aus:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall m,n>N:|a_m-a_n|<\varepsilon\,\,(m\neq n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{will ich :} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n+1,n>N:|a_{n+1}-a_n|<\varepsilon\,\,(n+1\neq n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{machen (oder umgekehrt), dazu muss ich halt doch eigentlich nur erwähnen, da ja:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m>n>N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ dass dann auch gilt }n+1>n(\in\mathbb{N}),\text{da schon laut def }n>N,\text{ muss ich doch eigentlich auf dass }N\text{ keinen bezug mehr nehmen..} \end{eqnarray*}$

1. Warum willst du das machen?
2. Das "umgekehrt" geht nicht, das sage ich dir jetzt aber schon zum dritten Mal!!!! Wär schön, wenn du das auch irgendwann zumindest mal aufnehmen würdest.
3. Doch, natürlich musst du das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall beibehalten! Das hat ja nichts damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ ist. Das hat etwas damit zu tun, wie weit du nach hinten gehen musst, damit der Abstand beliebiger Folgenglieder dahinter $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist. Sieh dir dazu auch nochmal die Definition der Konvergenz an! Hast du diese, wenn man sie durch Quantoren beschreibt, überhaupt verstanden?

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{Also:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n>N\, : \,|a_{n+1}-a_n|<\frac{|a_1-a_0|}{1-q}\cdot q^n<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Da }n+1\neq n\text{ gilt }\forall k\in\mathbb{N}:\,m=n+k,\text{ da ja auch gilt dass:}\forall m,n\in\mathbb{N}: m>n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall n+k,n>N:|a_{n+k}-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{bzw. } \forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall m,n>N:|a_{m}-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{?? oder wie ??} \end{eqnarray*}$

Sieh dir das mal an. Erwartest du wirklich von jemandem, der nicht weiß, was deine Gedanken dahinter sind, dass er das versteht? Ich jedenfalls verstehe es nicht. Und jetzt sage ich es zum vierten Mal: Das, was du da zeigen willst, kannst du nicht zeigen, weil es falsch ist!

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{ Muss das noch gezeigt werden dass }(a_0)\text{ beliebig ist, bzw gewählt werden kann...} \end{eqnarray*}$

Nein, natürlich nicht. Du sagst einfach am Anfang deines Beweises: Sei $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dass eine Zahl beliebig ist, kann man nicht beweisen.

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{Zum Grenzwert: Da }\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\,\Rightarrow\,f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=f(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{durch die definition von } f(a_n)=a_{n+1}\,\Rightarrow\,f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=f(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a\,\Rightarrow\,f(a)=a \end{eqnarray*}$

Und wie genau begründest du dabei die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=\lim_{n\to\infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

30.11.2006, 00:03

zeusosc

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Es gilt: $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|=|f(a_n)-f(a_{n-1})|\leq q|a_n-a_{n-1}| \end{eqnarray*}$ .
Mit dieser Eigenschaft kannst du jetzt folgern, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge sein muss.

Gruß MSS

$\begin{eqnarray*} \text{ganz ehrlich wie kann ich dass nun folgern?? (schön das es allgemein für m gilt, ich habe aber nun mal n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Verstanden, ja eigentlich schon, ab ein Indize}N\in\mathbb{N}\text{ liegen alle alle folgenglieder innerhalb eines }\varepsilon\text{ schlauches, wobei die differenz,} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ also der Abstand, zweier unterschiedlicher Folgenglieder, natürlich ab }N\text{ immer kleiner wird.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ Anders ausgedrückt }\forall U_\varepsilon(a)\exists N\in\mathbb{N}\text{, dabei bezeichnet } N\text{den}\textit{ Grenzindize} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ ab welchen alle übrigen Folgeglieder in dieser Umgebung drinnen liegen.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ Die restlichen Folgeglieder fangen ja ab }N\text {an, d.h. also dass es }\textit{für alle}\text{ übrigen gelten muss, also }\forall n>N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Bei der Definition der Cauchyfolgen wird halt die differenz zweier unterschiedlicher Folgeglieder betrachtet,daher auch }\forall m,n>N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ so, und alle} n+1\text{ sind aufgrund} n>N\text{ja nun mal }n+1>N\text{ und das sogar für alle }n. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ wie kann ich, bzw wie darf ich nun folgern das mit der oben zitierten Eigenschaft }(a_n)\text{ eine Cauchy Folge ist, ich weiß es echt net...} \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 00:14

Mathespezialschüler

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Aus dieser Eigenschaft haben wir doch folgendes gefolgert:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_m-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Jetzt guck dir mal die Definition einer Cauchyfolge an: $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ heißt Cauchyfolge genau dann, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon>0\ \exists\ N\in\mathbb N\ \forall\ m,n>N\ :\ |a_m-a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Was siehst du? Da steht oben und unten dasselbe. Also haben wir gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist!
Was du da immer mit deinem $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ machen willst, ist mir leider vollkommen schleierhaft.

Gruß MSS

30.11.2006, 00:50

zeusosc

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Und wie genau begründest du dabei die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=\lim_{n\to\infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

$\begin{eqnarray*} \textit{naja :}f(a_2)=a_3,f(a_4)=a_5,....,f(a_n)=a_{n+1},... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ das war jedenfalls mein gedanke...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1},\,f(\lim_{n\rightarrow\infty}f(a_n))=f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1})=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+2}\Rightarrow\,f(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ und nochmal zum geliebten }m,n+1 \text{ ich wollte bloß sagen :wenns für ein algemeines }a_m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ gilt, gilt's auch für das spezielle } a_{n+1} \text{sowas in der art...} \end{eqnarray*}$

30.11.2006, 01:31

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von zeusosc

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und wie genau begründest du dabei die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=\lim_{n\to\infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

Schöne Implikationskette. Aber was bringt dir die mittlere Gleichung? Wo benutzt du sie? Und wie begründest du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f\left(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}a_{n+2} \end{eqnarray*}$ ?

Wie du siehst, ist das strukturell die gleiche Frage wie vorher, aber da du genau diese Gleichung benutzt hast, um im Prinzip die gleiche Gleichung zu beweisen, muss ich nochmal fragen. Das ist quasi ein Zirkelschluss.

Zitat:

Original von zeusosc
$\begin{eqnarray*} \text{ und nochmal zum geliebten }m,n+1 \text{ ich wollte bloß sagen :wenns für ein algemeines }a_m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ gilt, gilt's auch für das spezielle } a_{n+1} \text{sowas in der art...} \end{eqnarray*}$

Stimmt auch - bringt dir aber einfach nichts beim Beweis der Cauchyfolgeneigenschaft.

Gruß MSS

edit: Zum Beweis von $\begin{eqnarray*} f(a)=a \end{eqnarray*}$ . Es gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f(a_n)-f(a)|\leq q|a_n-a| \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ geht, folgt auch: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(a) \end{eqnarray*}$ . Nun geht es so, wie du es machen wolltest, weiter:

$\begin{eqnarray*} f(a)=\lim_{n\to\infty}f(a_n)=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=a \end{eqnarray*}$ .

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Der liebe Grenzwert

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