Konvergenz von Reihen

21.02.2011, 14:31

i^2

Konvergenz von Reihen

Hi!

Ich möchte für die beiden Reihen die Konvergenzbereiche Ermitteln:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{n^3\cdot3^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {{(n+1)}^3}\cdot{(\frac{z}{3})}^n \end{eqnarray*}$

Somit erhalte ich über die geom. Reihe:

$\begin{eqnarray*} |z]<3 \end{eqnarray*}$
In der Lösung steht jedoch ein kleiner gleich. Wo kommt da her? Die Summe könnte man jetzt aber nicht einfach ermitteln, oder?

Dann 2. Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n^3} \end{eqnarray*}$

hier weiß ich nicht, wie ich die Umformen soll. Denn für n=0 ist der Summand unendlich.

21.02.2011, 14:54

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von i^2
hier weiß ich nicht, wie ich die Umformen soll. Denn für n=0 ist der Summand unendlich.

Der Fall n=0 tritt nicht auf. Augenzwinkern

Zitat:

Original von i^2
In der Lösung steht jedoch ein kleiner gleich. Wo kommt da her?

Was passiert denn bei z=1 bzw. |z| = 1 ?

21.02.2011, 15:01

i^2

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Sorry evtl. bin ich gerade blind auf den Augen, aber das hilft mir leider beides nicht weiter.

Die Summe der Geometrischen Reihe gilt doch nur, wenn sie mit n=0 beginnt. Wie kann ich dann eine Aussage darüber machen, wenn eine bei n=1 beginnt?

Was bei |z|=1 passiert sehe ich leider auch nicht.

21.02.2011, 15:17

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von i^2
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{n^3\cdot3^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Da steht eindeutig, daß die Reihe bei n=1 beginnt. Und eine geometrische Reihe in Reinform ist das auch nicht.

Schau dir erstmal den Fall z=1 an.

21.02.2011, 15:20

Merlinius

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von i^2
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{n^3\cdot3^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Da steht eindeutig, daß die Reihe bei n=1 beginnt. Und eine geometrische Reihe in Reinform ist das auch nicht.

Schau dir erstmal den Fall z=1 an.

Ich glaube, Du meinst z = 3, oder? Nur um der Verwirrung vorzubeugen. So wie ich das verstehe, geht es noch um die erste Reihe.

21.02.2011, 15:26

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Du hast natürlich völlig Recht. Freude

Also i^2: betrachte erst den Fall z=3, danach den Fall |z| = 3.

21.02.2011, 16:01

i^2

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Also für |z|=3 geht sie gegen null, oder?

Das mit dem Ab eins losgehen war auf die Reihe bezogen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n^3} \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 16:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von i^2
Also für |z|=3 geht sie gegen null, oder?

Was soll gegen Null gehen? Die Reihe? Da liegst du falsch. Was steht denn da für z=3 ?

Zitat:

Original von i^2
Das mit dem Ab eins losgehen war auf die Reihe bezogen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n^3} \end{eqnarray*}$

Ja und wo ist das Problem?

21.02.2011, 16:13

i^2

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {{(n+1)}^3}\cdot{(\frac{z}{3})}^n \end{eqnarray*}$

Das für z=3:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {{(n+1)}^3} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Reihe ist mein Problem eben, dass sie bei 1 beginnt. Die Summenformel für geometrische Reihen beginnt ja aber bei 0. Und ich kann sie auch nicht so umformen, dass sie bei 0 beginnt.

22.02.2011, 08:55

klarsoweit

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Ich weiß nicht, warum du stets und ständig auf der 0 bzw. 1 rumtrampelst. Nochmal zum Mitlesen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {{(n+1)}^3} \end{eqnarray*}$ ist keine geometrische Reihe. Es geht einzig um die Frage, ob diese Reihe konvergiert.

22.02.2011, 10:03

i^2

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Ok die Reihe konvergiert, weil es eine 0 Folge ist.

Nur wie sieht es mit der anderen aus, wie untersuche ich diese auf Konvergenz?

22.02.2011, 10:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von i^2
Ok die Reihe konvergiert, weil es eine 0 Folge ist.

Nein, die Begründung ist falsch. Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {n} \end{eqnarray*}$ ist 1/n auch eine Nullfolge, aber die Reihe konvergiert nicht.

Zitat:

Original von i^2
Nur wie sieht es mit der anderen aus, wie untersuche ich diese auf Konvergenz?

Welche andere?

22.02.2011, 13:05

i^2

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Und wie soll ich die Reihe dann auf Konvergenz prüfen? Im Komplexen hatten wir eigentlich nur die geometrische Reihe und in der Übung wurde gesagt, wir sollen alles auf die zurückführen.

Mit der anderen Reihe meine ich diese:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n^3} \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 13:18

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Fassen wir das ganze mal zusammen, damit man mal einen konsolidierten Stand hat.

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{n^3 \cdot 3^{n-1}}~| \leq \sum\limits_{n=1}^\infty | \frac{z^{n-1}}{n^3 \cdot 3^{n-1}}| = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|z|^{n-1}}{n^3 \cdot 3^{n-1}}| \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{|z|^{n-1}}{3^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du deine heiß geliebte geometrische Reihe, so daß die Konvergenz für |z| < 3 folgt.

Für |z| = 3 haben wir $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ als Majorante. Und im Reellen solltet ihr euch mal Gedanken über die Konvergenz derartiger Reihen gemacht haben.

26.02.2011, 21:50

Corny

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@klarsoweit
Könnte man den Konvergenzradius auch mit R=1/x mit x= lim sup n gegen unendlich von $\begin{eqnarray*} | \frac{a_n+1}{a_n} | \end{eqnarray*}$ berechnen mit $\begin{eqnarray*} an=\frac{1}{n^3*3^n} \end{eqnarray*}$
Komm auf jeden Fall auch aufs richtige Ergebnis

Es gibt ja Ausnahmen wann man x mit dem Quotientenkriterium ausrechnen kann. Welche sind das denn nochmal? Das Wurzelkriterium klappt ja immer.

Gruß Corny

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