Gleichung mit Beträgen

21.02.2011, 16:11

Pablo

Gleichung mit Beträgen

Sääärwurst :P

thema: gleichung mit beträgen.

löse folgende gleichung:

|x| = 6

so, was haben die striche zu bedeuten und was unterscheidet sich hier von gewöhnlichen gleichungen?

21.02.2011, 16:12

baphomet

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RE: Gleichung mit Beträgen
Der Betrag einer Zahl ist stets positiv,dies spiegelt den Abstand der Zahl bis zur Null wieder. So hat deine Betragsgleichung von oben zwei Lösungen.

Das ist grundlegend mit den Betragsstrichen gemeint.

21.02.2011, 16:13

Pablo

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hmmm

und was heißt das? *doofbin* :P

21.02.2011, 16:14

baphomet

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Der Betrag von

5 und -5 ist 5, also lässt man das Vorzeichen einfach weg, denn ein Abstand oder der
Betrag kann stets nur positive Werte annehmen.
Soweit klar?

21.02.2011, 16:15

Pablo

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ja soweit klar Sir! und weiter?

21.02.2011, 16:18

baphomet

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Damit man Betragslgeichungen aber lösen kann benötigt es folgendem wichtigen
Zusammenhang. Der Betrag kann wie folgt dargestellt werden.

$\begin{eqnarray*} |a|=\sqrt[]{a^2} \end{eqnarray*}$

Das wenden wir jetzt mal auf dein obiges Beispiel an.

$\begin{eqnarray*} |x|=5 \rightarrow \sqrt[]{x^2}=5 \end{eqnarray*}$

Natürlich wäre bei einem so einfachen Beispiel diese Umformung nicht nötig, doch
später bei komplizierteren Betragsgleichungen muss man genau dieses Vorgehen
anwenden.

Hier mal ein Link zu den einfachsten Fällen von Betragsgleichungen:

http://www.mathematik.net/betragsgleichungen/b02s10.htm

21.02.2011, 16:21

Pablo

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häääää?

wie meinen?

andere aufgabe

2|x| = 8

für was stehen die striche bei x?

oki die gleichung hat 2 lösungen x = + - 4

21.02.2011, 16:26

baphomet

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Die Striche sind Betragsstriche, sie deuten an dass das was zwischen den Strichen
steht, also davon der Betrag genommen wird. Der betrag ist immer positiv.

Damit gibt es folgende einfache Regeln:

1. Ist auf der einen Seite der Betragsgleichung eine positive Zahl so gibt es 2 Lösungen
2. Ist auf eine der Seiten eine Null ist dies die einzige Lösung
3. Ist die Zahl auf einer Seite der Gleichung negativ so hat die Betragsgleichung
keine Lösung.

Ja deine Aufgabe hast du korrekt gelöst.

21.02.2011, 16:33

Pablo

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Subbbbbbaaaa Freude

ein thema in 5 minuten verstanden! so muss das sein! Freude

Hab mir gleich mal dein link ausgedruckt. lass uns aber noch ein paar aufgaben machen. moment

21.02.2011, 16:37

baphomet

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Ja wir können noch weitere Aufgaben dazu machen, also das Grundkonzept musst
du verstanden haben, besonders wann eine Betragsgleichung keine Lösung hat.

Hier mal paar Aufgaben.

|x+23|=-7

|x|=3

(|x+5|)^2=49

|x-7|=0

Jetzt mal eine schwierigere Aufgabe zum Schluss

|x+2|+|x-4|=3

21.02.2011, 16:39

Pablo

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|x+23|=-7

okay kann ich jetzt direkt sagen, die gleichung hat keine lösung, da mein rechtes glied negativ ist, oder bzw was hat das zu bedeuten, dass x & 23 in den Strichen stehen bzw was heißt das nun für mich?

21.02.2011, 16:41

baphomet

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Das kannst du direkt sagen, da du ja weißt das der Betrag stets(immer) positiv
ist, also nie negative Werte annehmen kann. Damit hast du die Aufgabe gelöst.

21.02.2011, 16:43

Pablo

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dies gedanken schießen mir jetzt durch den kopf:

was wenn, das x irgendwie so doof feklammert ist oder bzw sich das vorzeichen ändert bei komplexeren sachen, was ist dann zu tun?

verändert sich das x irgenwie oder das rechte glied in irgendnem fall.

wie verhalten sich potenzen und brüche?

was muss ich noch wissen?

21.02.2011, 16:45

baphomet

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Löse erstmal die restlichen Aufgaben.

Mit Wurzeln und Potenzen, Brüchen verhält es sich genauso, es läuft immer nach
dem gleichen Schema ab.

21.02.2011, 16:45

mYthos

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@baphomet

Hast du auch mal die Methode der Fallunterscheidungen angedacht?
Das Quadrieren bei Betragsgleichungen ist verkehrt, schon alleine deswegen, weil dies keine Äquivalenzumformung darstellt.

mY+

21.02.2011, 16:46

Pablo

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|x|=3

x = +- 3

(|x+5|)^2=49

so wat geht jetzt ab?

außern klammer und potenz verwirrt

21.02.2011, 16:47

baphomet

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Diese Methode der Fallunterscheidung hatte ich schon im Sinn, und das das
Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist weiß ich auch. Doch erstmal wollte ich
die Grundlagen aufbauen und nach und nach, bevor ich Pablo verwirre.

21.02.2011, 16:48

baphomet

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Der Betrag von

|x+5| wird quadriert und ergibt 49, das ist doch nicht so schwer, hier kannst du einfach
die Wurzel ziehen damit das Quadrat wegfällt und diese Betragsgleichung dann
lösen.

21.02.2011, 16:57

Pablo

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ne es ist auch nicht schwer.
aber wenn du ein neues thema durchgehst, solche betragsstriche zum ersten mal siehst, daneben auch noch klammern und ne potenz. da denkt man sich schon erstmal hääää verwirrt

okay

(|x+5|)² = 49 Wurzel ziehen

|x+5| = 7

|x| = +- 2

21.02.2011, 16:58

baphomet

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Das ist korrekt, nächste Aufgabe bitte

21.02.2011, 16:59

Pablo

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|x-7|=0

rechts steht 0. die gleichung hat 1 lösung

21.02.2011, 17:02

lgrizu

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Zitat:

Original von Pablo

(|x+5|)² = 49 Wurzel ziehen

|x+5| = 7

|x| = +- 2

Das ist mal überhaupt nicht richtig, die Lösungen sind hier x=-13 und x=2, wie kommt man denn auf x=-2 ? verwirrt

21.02.2011, 17:04

Pablo

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moin feuerwehrdrache

also ich zieh die wurzel, damuit das quadrat wegfällt.

dann steht da:

|x + 5| = 7

dann hol ich die 5 rüber

|x| = 2

also x = + - 2

21.02.2011, 17:05

mYthos

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Um GANZ genau zu sein, sind die Lösungen 2 und -12

mY+

21.02.2011, 17:05

baphomet

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Ja da ist mir doch glatt bei deiner letzten Aufgabe eine falsche Lösung von dir
unterlaufen, da hat lgrizu recht, 12 muss die zweite Lösung lauten, denn dann
wird der Betragsausdruck 7. Welche Lösung hat die Gleichung

|x-7|=0 dann?

Möchte einer von euch anderen hier weitermachen?

21.02.2011, 17:06

mYthos

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WIE kommt ihr alle auf 13 ??

@bapho ... SSSCHNELL hast editiert, aber nicht schnell genug, ich habs gesehen!!

mY+

21.02.2011, 17:08

Pablo

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moment moment

also

(|x + 5|)² = 49 also wurzel jetzt ziehen auf beiden seiten

|x + 5| = 7

okay und jetzt nehm ich die 5 auf die andere seite

x = +- 2

was hab ich das jetzt falsch gemacht?

21.02.2011, 17:10

lgrizu

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Du kannst die 5 nicht einfach so rüberholen, denn es gilt |x+5|=|-(x+5)|=7, also |x+5|=x+5=7, das führt auf die Lösung x=2.

Oder es gilt -x-5=7, was auf die Lösung x=-12 führt.

Setz zur Probe einmal x=-2 in deine Gleichung ein:

|-2+5|=|3|=3 und 3²=9.

Edit: Hast recht Mythos, wie peinlich... Augenzwinkern

21.02.2011, 17:11

baphomet

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Nee, nee
so gehts nicht

Jetzt musst du die von Mythos bereits angesprochene Fallunterscheidung vornehmen,
dies klappt auch hier mittels meiner Darstellung des Betrages.

|x+5|=7

Einmal für x>0 und einmal für x<0

$\begin{eqnarray*} x>0 \rightarrow |7|=7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<0 \rightarrow |-7|=7 \rightarrow |x+5|=7 \rightarrow x=-12 \rightarrow |-12+5|=7 \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 17:12

Pablo

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ich checkk gar nixx mehr.

muss jetzt eh in die schule. ich mach später ein neues thema auf.

bis dann

21.02.2011, 17:16

mYthos

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Mit dem Quadrieren ist das so eine Sache. Wenn schon, dann muss die Sache dann so ausgehen:

$\begin{eqnarray*} x + 5 = \pm 7 \end{eqnarray*}$

Daraus folgen sofort die Lösungen.
_____________

Mit Fallunterscheidung:

a)
$\begin{eqnarray*} x + 5 \geq 0 \ \to \ x \geq -5 \ (D_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + 5 = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_1: \ x_1 = 2 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} x + 5 < 0 \ \to \ x < -5 \ (D_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(x + 5) = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + 5 = -7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_2: \ x_1 = -12 \end{eqnarray*}$

mY+

21.02.2011, 17:27

mYthos

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@baphomet

Zitat:

Original von baphomet
...
dies klappt auch hier mittels meiner Darstellung des Betrages.

|x+5|=7

Einmal für x>0 und einmal für x<0

Nein, so nicht. Der GANZE Ausdruck zwischen den Betragszeichen muss genommen werden. Und größer als Null stimmt auch nicht ganz, es muss größer gleich Null lauten.

mY+

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