komplexe Abbildungsmatrix - Basiswechsel

21.02.2011, 16:39	lesen_lernen	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Abbildungsmatrix - Basiswechsel Meine Frage: Sei die lineare Abbildung f : C2 nach C2 bezüglich der Standardbasis durch die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2i & 3 \\ 2& 1-i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (1.Zeile: 2i und 3, 2.Zeile: 2 und 1-i) gegeben. Bestimmen Sie die Abbildungmatrix von f bezglich der Basis B = ((i, 2+i), (i-1, 1-i)) des Urbildbereiches und der Basis B? = ((1, 1), (i, 1)) des Bildbereiches. Ich habe mich auf den Lösungsweg begeben und möchte wissen, ob ich am richtigen Ziel angelangt bin und wie ich das prüfen könnte: Meine Ideen: Die Spalten meiner gesuchten Matrix werden dadurch entstehen, dass ich die Bilder der Basisvektoren aus B durch eine Linearkombination der Basisvektoren aus B' darstelle und die Koeffizienten als Spaltenvektor schreibe. Zuerst bilde ich die Basisvektoren aus B bezüglich der Definitionsbereichsbasis der gegebenen Matrix ab. Da dies die Standardbasis sind meine "transformierten Koeffizintenvektoren" trivialerweise: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} i \\ 2+i \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} i-1 \\ 1-i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Diese multipliziere ich mit der gegebenen Darstellungsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2i &3 \\ 2 &1-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ 2+i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+i \\ 3+i \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 2i &3 \\ 2 &1-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i-1 \\ 1-i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-5i \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Damit habe ich die Koeffizienten der Abbildung bezüglich der Basisvektoren des gegebenen Bildbereiches bestimmt. Woraus sich das Bild meiner Vektoren aus B ergibt. Dies ist wieder in Bezug auf die Standardbasis, daher ändert sich an der Darstellung nichts. Die Bilder der Basisvektoren aus B drücke ich nun als Linearkombination derer aus B' aus. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4+i \\ 3+i \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b_1 \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} und <br /> \begin{pmatrix} 1-5i \\ -2 \end{pmatrix} = a_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b_2 \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Diese geben ein schönes LGS und werden mit Gauß-Jordan gelöst, womit sich dann folgendes ergibt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1& a_2 \\ b_1& b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5-2i}{1-i}& \frac{-1-3i}{1-i} \\ \frac{-1}{1-i}& \frac{-3-5i}{1-i} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Korrekt? Edit (jester.): Trenne Einträge in Matrizen mit &.
23.02.2011, 12:38	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Abbildungsmatrix - Basiswechsel Mit Deinen Ergebnissen ist: $\begin{eqnarray} a_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b_2 \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{-1-3i}{1-i} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{-3-5i}{1-i}\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{-1-3i-3i+5}{1-i}\\\frac{-1-3i-3-5i}{1-i}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4-6i}{1-i}\\\frac{-4-8i}{1-i}\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}1-5i\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ scheinen aber zu stimmen. Gruß, Reksilat.

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