Logarithmusfunktionen - Seite 2

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23.02.2011, 17:45	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Hallo. Ich schreibe hier meine Rechnung für die Wendestellen. Ich hoffe, dass da zumindest ein Teil richtig ist. Übrigens: Bei den Extremstellen hattest du einen Kandidaten bei x= 1/te Wenn man aber für t 1 einsetzt liegt der Tiefpunkt bri x=0.60 Also müsste es heißen x= 1/(1e) . Da kommt aber nicht 0.60 raus Wendestellen: n.K. für W-punkte ft''(x)=0 $\begin{eqnarray} 2ln(tx)+3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2ln(tx)=-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(tx)=\frac{-3}{2} \| exp \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} tx=\frac{1}{e^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x= \frac{1}{te^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$
23.02.2011, 18:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Puh, auf drei Seiten den Überblick zu behalten. Wir hatten: $\begin{eqnarray} f_t(x):= x^2 \cdot \ln(tx) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x^2\cdot \frac{1}{tx} \cdot t = 2x\cdot( \ln(tx) + 0.5) \end{eqnarray}$ <- Da war der Fehler beim Ausklammern der 2! Wählen wir t=1: $\begin{eqnarray} f_1(x):= x^2 \cdot \ln(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_1'(x)= 2x\cdot \ln(x) + x = 2x(\ln(x)+0.5) \end{eqnarray}$ <- Da war der Fehler beim Ausklammern der 2! Nullstelle haben wir bei $\begin{eqnarray} \ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = e^0 \Leftrightarrow x =1 \end{eqnarray}$ Kandidat für Extremstelle haben wir bei $\begin{eqnarray} \ln(x)+00.5 = 0 \Leftrightarrow ln(x)=-0.5 \Leftrightarrow x=e^{-0.5} \approx 0.607 \end{eqnarray}$
23.02.2011, 19:31	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Vielen Dank für die Korrektur. Ich hab schon gemerkt, dass da was nicht gepasst hat, aber, da ich eh schon viel falsch gemacht habe, könnte ich mich irre. Dann weerde ich die Wendestellen nochmal ausrechnen und mich mit der Teilaufgabe b) beschäftigen. Zur Erinnerrung b) : Untersuche, mit welcher Steigung sich Kt dem Grenzpunkt O (0/0) nähert. Zeichnung mit 5cm Längeneinheit von 0 bis 2. Ich hab da schon eine Vermutung. Man muss f'(0) ausrechnen?
23.02.2011, 19:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Dazu müßte f in 0 ja definiert sein. Du sollst $\begin{eqnarray} \lim_{x \downarrow 0} f'(x) \end{eqnarray}$ ermitteln.
23.02.2011, 19:44	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. warum ´den limes für x->0 von f'(x) ? Damit krieg ich die Steigung nicht raus, oder? Oder muss man da die Steigung an der Stelle z.B 0,1 ? Der limes zeigt ja nur, ob der Graph gegen + od. - unendlich verläuft.
23.02.2011, 20:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Dort steht nicht f sondern f'!
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23.02.2011, 20:10	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Kt nähert sich dem Grenzpunkt (0/0) mit der Steigung von f'(x) Das ist abhängig von t .
23.02.2011, 20:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. So what? Es geht um $\begin{eqnarray} \lim_{x \downarrow 0} f_t'(x)= \lim_{x \downarrow 0} 2x\cdot( \ln(tx) + 0.5) =0 \end{eqnarray}$ Da das Verhalten von x "überwiegt". Dazu solltet ihr was im Heft stehen haben.
23.02.2011, 20:48	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Unser Lehrer erklärt nicht viel. Der gibt uns Aufgaben, die wir machen sollen. Dan einzige was für mich ins Spiel kommt ist die Regel von l'Hospital ( also Krankenhausregel ) . Ist das gemeint?
23.02.2011, 20:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Nein, das meine ich nicht. Mach nun mit was anderem weiter.
23.02.2011, 21:06	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Vielleicht ist die Steigung an dem Hochpunkt gemeint ? Oder eine andere Möglichkeit wäre das Näherungsverfahren zwischen 0 und z.B. 0,5 um da die Steigung zu ermitteln
23.02.2011, 21:08	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Eine Frage: Muss der Pfeil bei limes nach unten gehen??? Das sehe ich zum ersten mal...
23.02.2011, 21:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Damit kennzeichne ich nur, dass wir uns von oben annähern, da x>0 gilt.
23.02.2011, 21:19	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Ich überlege noch. bei x=0 ist die senkrechte Asympote. Vielleicht könnte man die Ableitung in eine exponentialfunktion umwandeln, da sie die y-Achse schneidet. Wenn ich an die Steigung denke, dann hab ich die Steigung an einer Stelle im Kopf.
23.02.2011, 21:26	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. In der Nähe von (0/0) ist die Funktion streng monoton fallend, aber das ist glauib ich nicht die Antwort.
23.02.2011, 21:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Es ist das gemeint, was ich hingeschrieben hatte. Schau dir auch mal die Graphen an. Wie sieht es nun mit den Wendepunkten aus? Die fehlen glaube ich noch.
23.02.2011, 22:01	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Die Kandidaten für Wendepunkte habe ich ausgerechnet. Die Rechnung muss auf der Seite 3 stehen. Man sieht aber auf den ersten Blick, dass die Funktion keine Wendepunkte hat. Um das zu beweisen werde ich dann morgen die 3.Ableitung bilden ( obwohl in der Aufgabenstellung stand, dass man 2 Ableitungen bilden soll). Dann bleibt noch die Wertmenge W: Da kommen alle Zahlen aus dem positiven Bereich von x, außer 0. Mehr kann ich dazu nicht sagen.
23.02.2011, 22:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kommen nicht nur positive Werte raus. Und es gibt auch (mind) einen Wendepunkt.
25.02.2011, 19:49	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ich habe die 3.Ableitung gebildet und den Wendepunkt ausgerechnet. Die 3. Ableitung lautet: $\begin{eqnarray} f'''(x)= \frac{2}{tx}ln(tx) \end{eqnarray}$ Und der Wendepunkt liegt bei $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{te^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$ Was ist die Wertemenge? Alle Zahlen, die für y rauskommen, also negative, wie auch positive. Aber wie drückt man das präzise aus? Und wegen b) Die Steigung ist 0, wobei ich mich frage, ob man die 0 für alle Terme einsetzt, also für 2x ( und sieht, dass das 0 ergibt) ,ln(tx) ( ist auch 0 ) und 1x ( was auch 0 ergibt) und das heißt 0+0+0=0 Ist so eine Untersuchung gemeint ? Vielen dank für deine Hilfe
25.02.2011, 20:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. $\begin{eqnarray} f_t(x):= x^2 \cdot \ln(tx) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_t''(x)= 2\cdot \ln(tx) + 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_t'''(x)= \frac{2}{x} \end{eqnarray}$ Also nochmal rechnen. Wertemenge: ja, "alle y". Die ergibt sich, wenn wir unsere bisherigen Ergebnisse mal betrachten.
25.02.2011, 21:14	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Oh, ich hab das t i-wo vergessen. Dann eben nochmal. $\begin{eqnarray} f'''(x)= 0 ln(tx)+ \frac{1}{tx}2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x)= \frac{2}{x} \end{eqnarray}$ Wertemenge: O<y< 1/t = negative Zahlen y> 1/t = positive Zahlen Ich weiß nicht, wie man es korrekt schreibt. Ist meine Überlegung zu b) in etwa richtig. Und ist das mit 0 ln(tx) richtig, also ist die 2 abgeleitet 0, oder fällt das weg und man schreibt da nichts?
25.02.2011, 21:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Wir brauchen den Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \downarrow 0} f_t'(x)= \lim_{x \downarrow 0} 2x\cdot( \ln(tx) + 0.5) =0 \end{eqnarray}$ Wie verhält sich nun die Steigung (erste Ableitung) bis zum Extremwert, also auf dem Intervall $\begin{eqnarray} ]0, \frac{e^{-0.5}}{t}] \end{eqnarray}$ und wie auf $\begin{eqnarray} [\frac{e^{-0.5}}{t}, \infty[ \end{eqnarray}$ ? Damit kann man die Wertemenge begründen. Also vom Funktionswert des Minimums bis +oo.
25.02.2011, 21:34	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Da, wo die 1.Ableitung ihre Nullstelle hat, befindet ssich der Extrempunkt. Der Graph der Ableitung ist im negativen Bereich der y-Achse. Also, der Graph der Funktion sinkt bis zum Tiefpunkt und dann steigt er wieder in die Unendlichkeit. Ist das eine vernünftige Antwort?
25.02.2011, 21:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Wir brauchen den y-Wert des Extrempunktes. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat, steigt die Funktion dann immer weiter. Das heißt leider noch nicht, dass die Funktionswerte auch beliebig groß werden. Mit dem gleichen Argument, mit dem ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \downarrow 0} f_t'(x)= \lim_{x \downarrow 0} 2x\cdot( \ln(tx) + 0.5) =0 \end{eqnarray}$ bestimmt habe, folgt aber auch $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f_t'(x)= + \infty \end{eqnarray}$ Da unsere Funktion stetig ist, bekommen wir die schon gepostete Wertemenge.
25.02.2011, 23:05	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Sorry, dass ich so spät antworte, hatte momentan keinen Zugang zum PC. Der y-Wert des Extremums ist $\begin{eqnarray} y= \frac{1}{te^{0,5} }ln(t \frac{1}{te^{0,5} } ) \end{eqnarray}$ Ich glaube das kann man nicht kürzen. Die Wertmengen sind also für x bis zum Etremum =0 und von 0 bis unendlich = +unendlich ? Danke, das ist auch ein gutes Argument.
25.02.2011, 23:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Nein, die Wertemenge dibt nur den y-Bereich an. Also $\begin{eqnarray} [f(x_{min}), \infty[ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{min}=\frac{e^{-0.5}}{t} \end{eqnarray}$
25.02.2011, 23:25	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Danke für deine Antwort. Ich muss alles nochmal angucken, aber jetzt verstehe ich schon mehr. Wobei ich heute eine Aufgabe hatte, wo man die Stammfunktion ableiten musste, um zu beweisen,dass die Stammfunktion einer Funktion ist. Kannst du vllt. einen Blick drüber werfen, ob das richtig ist. Ich schreibe hier den kompletten rechenweg und bitte nur um Antowrt ja/ nein, weil du mir eh schon viel geholfen hast... Wenn du keine Lust hast, dann ignoriere das einfach Die Funktion lautet: $\begin{eqnarray} f(x)= (ln(x))^2 \end{eqnarray}$ Die gegebene Stammfunktion, die abgeleitet werden musste: $\begin{eqnarray} F(x)= x(ln(x))^2- 2xln(x) +2x \end{eqnarray}$ Und meine Ableitung der Stammfunktion: $\begin{eqnarray} F'(x)= 1(ln(x))^2+ x2ln(x)\frac{1}{x}- 2ln(x)+(-2x)\frac{1}{x} +2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(x)= (ln(x))^2 \end{eqnarray}$ , da alles wegfällt. Ist das richtig? Oder hab ich etwas vergessen. Und eine Zusatzfrage: ist ln(x+2) abgeleitet 1/x+2 ?
25.02.2011, 23:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Sieht gut aus.
25.02.2011, 23:33	loga12:(	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Danke. Dann hab ich im allgemeinen etwas kappiert. Vielen Dank für deine Hilfe und zeit, die du dir für mich genommen hast Schönes Wochenende
25.02.2011, 23:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klartext. Dir auch. Bei neuen Fragen, neuer Thread.

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