Logarithmusfunktionen

21.02.2011, 19:51

loga12:(

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Logarithmusfunktionen

Meine Frage:
Hallo. Ich hatte ein paar Aufgaben auf, aber ich weiß nicht, wie man die löst. Es handelt sich hier um den natürlichen Logarithmus.
1) Gegeben ist die Funktion f mit
$\begin{eqnarray*} x^2* ln(tx) \end{eqnarray*}$

Bestimme Definitionsbereiche, Randweerte, Asymptoten, Nullstellen, 2 Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, Wertmenge.
b) Untersuche, mit welcher Steigung sich kt dem Grenzpunkt O (0/0) nähert. Zeichnung mit 5cm Längeneinheit von 0 bis 2. (k>0)

Meine Ideen:
Ich habe nur ein paar Vermutungen, da ich nicht weiß was man zusammenrechnen kann und was nicht. Ich glaube, dass man nicht kann x^2 * ln(x) multiplizieren( auf jedem Fall weiß ich nicht was dann rauskommen soll).
Ich schreibe hier trotzdem meine Vermutungen.
Df= R+
Randwerte:
$\begin{eqnarray*} x\Rightarrow \infty = \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\Rightarrow \-infty = 0,1 \end{eqnarray*}$

senkrechte Asymptote bei x=0
Nullstellen
$\begin{eqnarray*} x^2* ln(tx)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=0 \vee ln(tx)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(x)= -ln(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=t \end{eqnarray*}$ ?
Bei den Ableitungen weiß ich nicht, waas ich miteinander multilpizieren kann, wass nicht. Ich schreibe euch trotzdem meine erste Ableitung. Vllt. ist sie nicht ganz falsch. Kann mir jemand erklären, wie man ln-funktionen ableitet und was man miteinander multiplizieren kann? Ich bin sehr dankbar smile

smile

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2x* ln(tx) + \frac{1}{tx} *x^2 \end{eqnarray*}$
Wie geht das weiter?
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 20:17

tigerbine

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Klartext.
Ein sauberer Aufschrieb ist schon die halbe Miete. Wie haben hier also einen Funktionenschar:

$\begin{eqnarray*} f_t(x):= x^2 \cdot \ln(tx) \end{eqnarray*}$

Ist etwas über t angegeben?

21.02.2011, 21:41

loga12:(

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RE: Klartext.
ja, t > 0 ( das stand auch da)

21.02.2011, 21:50

tigerbine

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RE: Klartext.
Was ja nicht gerade unwichtig ist. Für welche x aus IR ist die Funtkion f dann definiert? $\begin{eqnarray*} D_f=\mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

Deine restliche Notation ist sehr befremdlich. Wählen wir mal t=0.1, t=1 und t=10 und schauen uns den Graphen an.

Für die Randwerte, also die Funktionswerte am "Rande" des Definitionsbereichs interessieren uns die beiden Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f_t(x) =? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f_t(x) =? \end{eqnarray*}$

Dabei notieren wir auch den bestimmt divergenten Fall. Nun versuche dort mal eine Argumentation. Ihr müsst in der SChule schon so eine Art "Wachstumbeziehung" haben. In der Art Logarithmus am langsamsten, dann Potenzfuntktionen, Exponenentialfunktionen am schnellsten.

21.02.2011, 21:56

loga12:(

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RE: Klartext.
Ich hab noch nix von divergenten Fällen gehört unglücklich

unglücklich

Bei uns reicht sowas. Man weiß, dass die Logarithmusfunktion nicht im negativen bereich sein kann. aber wenn man den schritt auslässt und zu den nullstellen und ableitungen geht, wie sieht es mit meinen Ideen aus? weil das scheint mir wichtiger zu sein.
Ich habe mir die Funktion im Taschenrechner gezeichnet und meine funktion mit t=1 ist deutlich schmaler als die, die du hier gezeichnet hast.
Ich habe eingegeben: x^2* ln(1*x) , oder muss man das anders eingeben?

21.02.2011, 22:02

tigerbine

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RE: Klartext.
Die Bilder sind nicht vergleichbar, wer sagt, dass der gleiche Maßstab verwendet wurde. Du siehst aber, dass dein Grenzwert für x=0 fehlt bzw deine Notation falsch ist. Mehr sage ich nun auch nicht dazu.

$\begin{eqnarray*} x^2\cdot \ln(tx)=0 \end{eqnarray*}$

Richtig ist, einer der Faktoren muss 0 werden. Bei x² geht dies nur für x=0, was nicht in der Definitionsmenge liegt. Also betrachten wir

$\begin{eqnarray*} \ln(tx)=0 \end{eqnarray*}$

Bis hier bist du korrekt. Warum wendet du nun nicht an, dass die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion der Logarithmusfuntkion ist

$\begin{eqnarray*} tx=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Für die Ableitungen kannst du ein mal die Mathetools befragen. Die Aufgabe verlangt die Produkt und Kettenregel.

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21.02.2011, 22:06

loga12:(

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RE: Klartext.
Die Umkehrfunktion heißt, dass man ln auch so schreiben kann: e^lnx ?
Aber wo kommt die 1 her? Ist e^lnx =1 ? woher weiß man das? Ich weiß, dass e^0 = 1 ist...
Über die Funktion kann man sagen, dass sie nur für die positiven zahlen definiert ist.

21.02.2011, 22:07

tigerbine

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RE: Klartext.

Zitat:

Original von loga12
Ich weiß, dass e^0 = 1 ist...

Eben. Und auf der rechten Seite stand ja eine 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2011, 22:10

loga12:(

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RE: Klartext.
Ich glaube, du meinst x^2 = 0 Ja, das ist falsch. Das hätte ich auch schreiben können. Aber man muss die Funktion =0 setzen und die Nullstellen zu berechnen. Was ist dann mit ln(tx)= 0 ?
Ich habe das dann so geschrieben ln(x) + ln(t) =0
und dann ln(t) auf die andere seite gebracht... aber das ist wahrscheinlich falsch unglücklich

unglücklich

21.02.2011, 22:15

tigerbine

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RE: Klartext.
Was soll ich wo meinen? Ich habe an dieser Stelle

$\begin{eqnarray*} \ln(tx)=0 \end{eqnarray*}$

einen anderen Weg vorgeschlagen, der zur Lösung führt. Dein Weg über das Rechengesetzt muss dann auch in letzter Konsequenz richtig durchgeführt werden.

$\begin{eqnarray*} \ln(t) + \ln(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=- \ln(t) \end{eqnarray*}$

Da ist es mir nun schleierhaft, wie du auf x=t kommst. Zumal rechts doch ein Minus vor der Funktion steht. Bemühen wir die Rechengesetze erneut:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=\ln(\frac{1}{t}) \end{eqnarray*}$

so kommen wir wieder auf "mein" Ergebnis.

21.02.2011, 22:20

loga12:(

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RE: Klartext.
Kannst du mir sagen, wie du auf
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ kommst?
Ich weiß nicht was mit ln passiert und warum dann im zähler 1 steht unglücklich

unglücklich

21.02.2011, 22:27

tigerbine

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RE: Klartext.
$\begin{eqnarray*} \ln(x)=\ln(\frac{1}{t}) \end{eqnarray*}$

Na hier ist es doch klar. Oder ist dir nicht klar, was es bedeutet, dass Minus in den ln zu ziehen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2011, 22:32

loga12:(

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RE: Klartext.
Ich hab das geschrieben ln(x)= - ln(t)
ach, ist doch klar e^-ln(t) = 1/ln(t)
Dann muss man entlogarithmieren( ich weiß nicht, ob man dieses geschehen so nenn kann) und so kommt man auf x= 1/t
Danke, das hab ich jetzt kappiert. Hast du noch Lust mir die Ableitungen zu erklären? Wenn du keine Zeit hast, könntest du vllt. es auch morgeen tun, ich werd mir diesen Link in der Favoritenliste speichern...

21.02.2011, 22:39

tigerbine

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RE: Klartext.
$\begin{eqnarray*} \ln(x)=- \ln(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=\ln(t^{-1}) \end{eqnarray*}$

So hängt das zusammen.

Zitat:

Die Aufgabe verlangt die Produkt und Kettenregel.

$\begin{eqnarray*} f_t(x):= x^2 \cdot \ln(tx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x^2\cdot \frac{1}{tx} \cdot t \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 22:46

loga12:(

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RE: Klartext.
Ich hab dieses t in meiner ableitung nicht unglücklich

unglücklich

man braucht ja u und v
u ist x^2
u'= 2x
v=ln(tx)
v'= 1/tx

Das t hab ich dann gar nicht im spiel...
Und wenn man schon auf dieses eergebnis kommt, was kann man zusammenfassen? Was ist 2x* ln(tx) ? Das frag ich mich nämlich

21.02.2011, 22:47

tigerbine

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RE: Klartext.

Zitat:

Original von tigerbine
Die Aufgabe verlangt die Produkt- und Kettenregel.

21.02.2011, 23:01

loga12:(

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RE: Klartext.
Okay, ln(tx)^-1
das abgeleitet ergibt:
(es kann ja sein, dass ich u und v vertauscht habe, aber ich werde trotzdem die ableitung rauskriegen:
u(x)= z^-1
u'(x)= -1*z
v(x)= ln(tx)
v'(x)= t
aber warum fällt ln bei v' weg? wenn v nur tx ist, dann ist das klar, aber so i-wie nicht

21.02.2011, 23:06

tigerbine

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RE: Klartext.
Ich kann dein Problem nicht nachvollziehen. Ich habe es doch in Reihenfolge aufgeschrieben.

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x^2\cdot \frac{1}{tx} \cdot t \end{eqnarray*}$

Die Funtkion $\begin{eqnarray*} \ln(tx) \end{eqnarray*}$ muss abgeleitet werden. Das bringt zunächst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{tx} \end{eqnarray*}$ und die innere Ableitung (von tx) ist dann das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit dem noch nachdifferenziert wird. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2011, 23:12

loga12:(

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RE: Klartext.
Ok smile

smile

ich werd es so annehmen. ich gucke morgen noch mal drüber, vllt. fällt mir da noch was ein.
Kann ich morgen auf deine Hilfe hoffen?
Oder kannst du mir vllt. jetzt noch sagen wie das dann zusammengefasst wird?
Z.B 2x* ln(tx)= ?
das weiß ich nämlich nicht... Oder muss man das so schreiben:
(e^2x) * (e^ln(tx)) und dann kann man die Potenzregeln anwenden?

21.02.2011, 23:15

tigerbine

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RE: Klartext.
Nun verstehe ich nicht mehr, worüber du sprichst.

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x^2\cdot \frac{1}{tx} \cdot t \end{eqnarray*}$

Würde man so vereinfachen

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x = 2x(\ln(tx)+1) \end{eqnarray*}$

Bis morgen. Wink

Wink

21.02.2011, 23:17

loga12:(

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RE: Klartext.
Ich würde gerne wissen was 2x* ln(tx) ergibt, oder kann man das nicht miteinander multiplizieren?

21.02.2011, 23:18

tigerbine

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RE: Klartext.
Das "muss" so bleiben.

21.02.2011, 23:20

loga12:(

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RE: Klartext.
Ok, danke. Das wollte ich nämlich auch wissen smile

smile

Ich werde morgen meine 2.Ableitung rwein schreiben, vllt. ist die dann richtig...
Trotzdem vielen Dank

21.02.2011, 23:22

tigerbine

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RE: Klartext.
Wink

Wink

22.02.2011, 19:22

loga12:(

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RE: Klartext.
Hallo. Ich habe heute die 2.Ableitung gebildet. Ist die richtig?
Übrigens weiß ich immer noch nicht, wo die t aus der 1.Ableitung herkommt.
Bei der ersten Ableitung:

$\begin{eqnarray*} ft(x)=x^{2}*ln(tx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x)= x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)= 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=ln(tx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=\frac{1}{tx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ft'(x)=u'(x)*(v)+ v'(x)* u(x) \end{eqnarray*}$
Und dann ist die t nicht im Spiel unglücklich

unglücklich

Angenommen, dass ich mich trotzdem irre habe ich mit der von dir angegebenen Ableitung die 2.Ableitung gebildet. Ist die richtig, oder bis wohin ist die richtig?

$\begin{eqnarray*} ft''(x)= 2*ln(tx)+\frac{1}{tx}*2x*t +1 \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 19:23

tigerbine

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RE: Klartext.

Zitat:

Übrigens weiß ich immer noch nicht, wo die t aus der 1.Ableitung herkommt.

Dann wird es Zeit, dass du meine Beträge sorgsamer liest. Das t stammt aus der Anwendung der Kettenregel, also der Ableitung der inneren Funktion g(x):=tx nach x.

22.02.2011, 19:46

loga12:(

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RE: Klartext.
Ja gut.
Ich hab mir das schon notiert. Also, wenn man v nach der Kettenregel ableiten muss, dann ist:

$\begin{eqnarray*} v(x)=(tx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)= t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x)= z^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)= 1*z \end{eqnarray*}$
Aber das Problem ist, dass v doch ln(tx) ist, und v'(x)=1/tx
Ich leite v ganz ab, nicht nur das was in klammern steht.
Und da liegt der Widerspruch

22.02.2011, 19:52

tigerbine

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RE: Klartext.
Da liegt kein Widerspruch. Das was du mit hier immer wieder vorkaust ist die Produktregel. Und in unserem Fall ist v eben eine Funktion, die bei ihrer Ableitungen die Kettenregel verlangt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} g(x)=tx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(g(x))=\ln(tx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(g(x))=v'(g(x))\cdot g'(x)= \frac{1}{tx} \cdot t \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 20:25

loga12:(

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RE: Klartext.
Gut, jetzt verstehe ich. Ist das eine allgemeine Regel, die man bei ln- Funktionen dieser art anwenden muss?
Ich habe auf einem Lernblatt so eine Formel gefunden:
f(x)=ln Arg(x) => f'(x)= Arg'(x) / Arg(x)

Das Argument ist das, was in Klammern hinter ln steht? In dieser Aufgabe also
tx ?
Meine 2.Frage: Ist die 2.Ableitung richtig?

22.02.2011, 20:28

tigerbine

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RE: Klartext.
Das hat nichts mit der ln Funktion zu tun, sondern eben damit, dass es nicht ln(x), sondern ln(tx) ist. Wir also noch eine innere Funktionen haben.

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_t''(x)= 2\cdot \ln(tx) + 2x\cdot \frac{1}{tx}\cdot t + 1 =2\cdot \ln(tx) + 3 \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 20:48

loga12:(

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RE: Klartext.
War also die 2.Ableitung, die ich mithilfe der 1.Ableitung, die du mir richtig geschrieben hast, richtig? Das ist schon was.
Kannst du mir sagen, wasf(x)= ln Arg(x) heißt ?
Waas bezeichnet man als Argument?

22.02.2011, 20:57

tigerbine

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RE: Klartext.
Das soll nur heißen, dass eben nicht nur x in den Klammern bei ln( ) steht. Hier also tx.

22.02.2011, 21:05

loga12:(

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RE: Klartext.
Achso. Danke für die Antwort.
Wie ist es bei den Extrema und Wendepunkten? Die Funktion hat einen Tiefpunkt, aber wie rechnet man den aus?
Ich weiß, dass man ft'(x)=0 setzen muss.
Dann ist es 2x*ln(tx)+1x=0
= 2x*ln(tx)=-1x
Was rechnet man weiter? Das ln(tx) bereitet mir Schwierigkeiten...

22.02.2011, 21:11

tigerbine

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RE: Klartext.
Notwendig ist, dass eine Nullstelle der ersten Ableitung vorliegt.

$\begin{eqnarray*} f_t'(x)= 2x\cdot \ln(tx) + x = 2x(\ln(tx)+1) \end{eqnarray*}$

Da ist die zweite Darstellung, die ich schon vorbereitet hatte, praktisch.

$\begin{eqnarray*} 0= 2x(\ln(tx)+1) \end{eqnarray*}$

Wir lesen 2 Möglichleiten ab:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln(tx)=-1 \end{eqnarray*}$

Nun sollte man wissen, wie die Umkehrfunktion des ln lautet, und schon haben wir die zweite Lösung - in Abhängigkeit von t.

22.02.2011, 21:18

loga12:(

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RE: Klartext.
Die Umkehrfunktion des ln-funktion ist die natürliche Exponentialfunktion.
ln(tx)=-1
e^-1 = ln(tx)

ln(e^-1)= ln(tx)
-1= tx
x= -1/t ???

22.02.2011, 21:28

tigerbine

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RE: Klartext.
Nein, so nicht.

$\begin{eqnarray*} \ln(tx)=-1~|~\exp \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tx=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{te} \end{eqnarray*}$

Für t ungleich 0 natürlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2011, 21:40

loga12:(

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RE: Klartext.
Danke für deine Korrektur.
Gibt es da auch eine allg. Regel?
wenn man ln hat und exp "zieht" bleibt das, was in klammern hat. Und bei -1 ist es e^-1 ? , also 1/e^1 ???

22.02.2011, 21:56

tigerbine

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RE: Klartext.
Naja, es ist doch die Umkehrfunktion. Und was exp(-1) bedeutet, ist eigentlich auch klar. exp(-1)=1/e Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2011, 21:59

loga12:(

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RE: Klartext.
Danke für deine ausführliche Erklärungen und für deine Geduld.
Kann ich morgen meine Rechnungen für die Wendestellen und für b) reinschreiben? Ich werde mir die Aufgabe noch ein paar mal angucken.
Ein paar sachen sind mir schon klargeworden.

22.02.2011, 22:02

tigerbine

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RE: Klartext.
Klar. Wink

Wink

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