Exponentielles Wachstum

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21.02.2011, 19:39	Jojo Swagger	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentielles Wachstum Hallo Leute, 2 Sachen... Einmal die Aufgabe Eine Bakterienkultur umfasst anfangs 50 000 Bakterien. Die Anzahl vergrößert sich alle 20 Minuten um 20 %. a) Wie viele Bakterien sind es nach 3 Stunden ? b) Nach welcher Zeit sind es 10 Millionen Bakterien ? Kann mir da vll. mal jmd. helfen?!?! ich weiß net wie mer da auf die Wachstumskonstante kommt... allgemein versteh ich des mit der Wachstumskonstante net...siehe dieser Aufgabe In einer Bakterienkultur sind zu Beginn einer Beobachtung 6000 Bakterien vorhanden. Es ist bekannt, dass sich bei diesen Bakterien die Anzahl in 5 Stunden verdreifacht. a) Zeige, dass dieses Wachstum durch die Gleichung y = 60003^ 0,2 t beschrieben wird wie komm ich da bei der Wachstumskonstante auf 0,2 Letzteres wollte ich fragne wo ich so einen Verlauf zeichnen kann und auch in eine Powerpoint Präs einfügen kann.... so wie z.B. bei diesem Link http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=26193... der MRspi... Ich hoffe ihr könnt mir helfen... Danke schon mal im Voraus^^ Edit (mY+): Beitrag von einem alten Thema abgetrennt* Bitte erstelle für eine neue Aufgabe auch einen neuen Thread!
21.02.2011, 20:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für eine Stunde (das ist die Einheit!) beträgt der gesamte Wachstumsfaktor $\begin{eqnarray} 3^{\frac 1 5} = 3^{0.2} \end{eqnarray}$ Warum? In 5 Stunden wird der Bestand 3 mal so groß, für eine Stunde muss man - wegen der geometrischen Progression - die 5. Wurzel aus 3 ziehen. Die Graphen der Funktionen werden hierboards mittels des Funktionen-Plotters erstellt. mY+
21.02.2011, 22:31	JojoSwagger	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke danke, schon mal hilfreich...und wie is die überlegung bei der 1.? mit den 20 min 20 % Zuwachs??!? Ich komm da einfach net auf des Ergebnis (laut Lösung = 250 830) also wie stell ich da die Gleichung auf...? so richtig verstehen du ich des dann doch net
22.02.2011, 00:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das funktioniert genau so wie beim andern Beispiel. 20% entspricht einem Vergrößerungsfaktor von 1,2 , und das passiert in 20 Minuten. Somit ist der Faktor für eine Minute = ?? Diesen Minutenfaktor muss man nicht immer verwenden. Wenn nach dem Bestand in 3 Stunden gefragt ist, kann man sich auch überlegen, dass diese Zeit 180 Minuten und daher das 9-fache von 20 Minuten sind. So kann dann der Faktor 1,2 (der für 20 Minuten gilt) ja direkt verwendet werden, und wie? mY+
22.02.2011, 16:08	JojoSwagger	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja stimmt jetzt hab ichs gecheckt für eine Minute wärs dann quasi 1,2^0,05t oder ich rechne es auf eine Stunde um: 1,2^3t dann muss ich hal jeweisl für die gesuchte Größe minuten oder Stunden eingeben Danke...und auch für die schnellen antworten....schon mal die Grundlage geschafft und dann komm ich bei meinem Fachreferat für beschränktes Wachstum auf lauter e (eulersche Zahl) für das beschränkte Wachstum da tauchen immer wieder verschiedene Formeln auf.... B(t) = S-(S-c)*a^kt B(t)-Bestand, S-Sättigungsmanko(Schranke), a-Wachstumsfaktor, k-Wachstumskonstante, t-Zeit oder eben eine mit der eulerschen Zahl B(t) = S – a · e^–kt (warum ist da aufeinmal vor der Wachstumskonstante ein "-" ?) weiß jmd. vll. was eher auf die Realität zutrifft und was die eulersche Zahl genau zu bedeuten hat? Ich will net den faulen spielen der euch alles machen lässt, aber nur im Internet werd ich net fündig und ich hock bei den ganzen Wachstumsprozessen schon 20 Std drüber.....logistisches Wachstum kommt danach auch noch....
22.02.2011, 18:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob man bei den Wachstumsfunktionen mit e oder einer allgemeinen Basis a rechnet, ist letztlich egal. Das richtet sich meist nach der Angabe. Der Zusammenhang ist sehr einfach: $\begin{eqnarray} e^{kt} = (e^k)^t = a^t \ \text{mit} \ a = e^k \end{eqnarray}$ Dies wurde vor Kurzem auch in einem anderen Thread erörtert: __________________________________________________________ Wachstums- wie auch Zerfallsfunktionen laufen nach einem gewissen Schema ab: Die Funktion des (unbeschränkten) exponentiellen Wachstums (Zerfalls) lautet allgemein $\begin{eqnarray} b(t) = b(0) \cdot e^{kt} \end{eqnarray}$ .. b(0) ist der Bestand zur Zeit t = 0 .. k ist die Wachstums- (Zerfalls-)konstante .. k > 0 --> Wachstum, k < 0 --> Zerfall Und wenn man $\begin{eqnarray} e^k \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ zusammenfasst, ist $\begin{eqnarray} b(t) = b(0) \cdot q^t \end{eqnarray}$ .. q > 1 --> Wachstum, q < 1 --> Zerfall Somit ist der Zusammenhang ersichtlich: $\begin{eqnarray} e^k = q \ \text{oder} \ k = \ln q \end{eqnarray}$ __________________________________________________________ Statt q (Quotient) ist bei dir die Bezeichnung a verwendet. Das negative Vorzeichen im Exponenten deutet also auf einen Zerfall hin (negatives Wachstum) Ausser dem unbeschränkten exponentiellen Wachstum gibt es noch zwei andere Arten: - Beschränktes Wachstum - Logistisches Wachstum Letzteres ist besonders interessant, weil damit viele natürliche Vorgänge besonders gut zu modellieren sind. Die Gleichung, die du erwähnt hast, beschreibt genau diese Wachstumsform. mY+
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22.02.2011, 19:23	JojoSwagger	Auf diesen Beitrag antworten »
ey sau gut danke ja deshalb sind auch beschränkt und logistisch so wichtig für mein Referat und was wäre dann diese formel zum logistischen Wachstum? Weil auch da findet man im Internet alle möglichen varianten.
23.02.2011, 02:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} B(t) = \frac{S}{1 + b e^{-Skt}} \end{eqnarray}$ ================= S .. Sättigungswert, k .. Wachstumskonstante Sh. auch logistisches Wachstum und noch viele weitere Ergebnisse bei der Suche hier im Forum! mY+
23.02.2011, 12:28	JojoSwagger	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen herzlichen Dank. und da hab ich auch gleich noch eine Aufgabe die ich in meinem Referat vorrechnen kann dennoch ist mir trotzdem noch nicht 100 % ersichtlich, was genau das b bedeutet. und da rechne ich dann jetzt mit der eulerschen Zahl e? was genau bringt diese mir? Und nochmal kurz zum beschränkten Wachstum: was bedeutet hierbei das a und e eigentlich im Unterschied? oder könntest du mir das mit dem beschränkten und logistischem noch am folgenden Rechenbeispiel erklären....mit den Variablen und so? Auf einer 40 cm^2 großen Petrischale wird eine 1 cm^2 große Bakterienkolonie entdeckt. Am nächsten Tag bedeckt.sie schon 1,5 cm^2. a) Welche Fläche wäre unter der Annahme beschränkten Wachstums nach 5 bzw. 10 Tagen bedeckt? Warum ist diese Annahme unrealistisch? b) Welche Fläche wäre unter der Annahme logistischen Wachstums nach 5 Tagen bedeckt? tut mir leid wenn ich ihre Nerven so strapaziere, aber ich will des hal in meinem Referat auch genau erklären können ...is auch die letzte Frage
23.02.2011, 14:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Lösung der Differentialgleichung des beschränkten Wachstums kommt man zwangsläufig immer zunächst zu einer e-Funktion: $\begin{eqnarray} B(t) = S - a \cdot e^{-k} \ .. \ k > 0 \end{eqnarray}$ Diese Funktion kann man im Allgemeinen so belassen und mit dieser sofort loslegen. Eine Umformung auf eine Basis a ist möglich, jedoch nur aus bestimmten Gründen sinnvoll. Dabei wird S - a = c gesetzt (--> a = S - c) und die e-Potenz in eine Potenz der Basis a mit neuem Exponenten (!) umgeformt: $\begin{eqnarray} e^{-k} = a^{k'} \ \to \ e^{-kt} = a^{k't} \end{eqnarray}$ Wir sehen, dass dabei die Konstanten k und k' NICHT gleich sind. $\begin{eqnarray} k' = - \frac k {\ln a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S - ae^{-kt} = S - (S-c)a^{k't} \end{eqnarray}$ In jedem Falle sind in dieser Funktion 3 Konstanten (S, a, k bzw. k') enthalten. Daher werden auch 3 Wertepaare zu deren vollständiger Berechnung benötigt. mY+
23.02.2011, 15:01	JojoSwagger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja oke alles klar soweit... aber warum brauch ich die eulersche Zahl?! woher weiß ich dass ich die brauch? lg
23.02.2011, 15:07	JojoSwagger	Auf diesen Beitrag antworten »
und für was steht das b beim logistischen Wachstum?
23.02.2011, 16:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Basis e ergibt sich zwangsläufig bei der Lösung der aus der Proportionalität resultierenden Differentialgleichungen. Und b ist einfach eine Konstante, so wie a. __________________ Für t = 0 ist beim logistischen Wachstum $\begin{eqnarray} B(0) = \frac 1 {1 + b} \end{eqnarray}$ Für t = 0 ist beim begrenzten Wachstum $\begin{eqnarray} B(0) = S - a \end{eqnarray}$ mY+
23.02.2011, 18:24	JojoSwagger	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was beschreibt mir die Konstante b genau? für e setz ich ja jetzt eulersche Zahl ein? Haben sie vll. beim beschränkten Wachstum noch ein Übungsbeispiel?
23.02.2011, 21:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte suche hier im Board, es gibt genug Threads hier. Die Suche zeigt 94 Treffer, wenn auch viele davon nicht zielführend sind. Aber einige sind schon brauchbar, z.B. beschränktes Wachstum Welchen Einfluss b hat, kannst du herausfinden, indem du einige Graphen mit verschiedenen b-Werten erstellst. Man sieht, dass - beim beschränkten Wachstum die Änderungsgeschwindigkeit und der Bestand bei t = 0 davon abhängen. Wie? - beim logistischen Wachstum die Änderungsgeschwindigkeiten nahezu gleich verlaufen. Was ändert sich hierbei? mY+

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