Uneigentliches Integral durch Substitution

21.02.2011, 20:06

Kallisto

Uneigentliches Integral durch Substitution

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie mit der Substitution $\begin{eqnarray*} Z = 5+x^2 \end{eqnarray*}$ das uneigentliche Integral
$\begin{eqnarray*} I = \int_2^\infty \! \frac{10x}{(5+ x^2)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Rauskommen soll $\begin{eqnarray*} I = \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$
Ich bin durch Substituieren schon soweit, dass ich auf $\begin{eqnarray*} \int\ \! 5 * (5+x^2)^{-2} \, dz \end{eqnarray*}$ komme (weil 10x/2x sich wegkürzen).
Jetzt stört mich aber noch das doppelte Quadrat, da ich sonst nicht auf die 9-tel komme. Das Quadrat außerhalb der Klammer müsste also noch irgendwie eliminiert werden. - Denk ich zumindest...
Könnte auch sein, dass ich beim Substituieren einen Fehler gemacht habe und statt einer 5 irgendwas anderes rauskommt.

21.02.2011, 20:14

corvus

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RE: Uneigentliches Integral durch Substitution

Zitat:

Original von Kallisto

Berechnen Sie mit der Substitution $\begin{eqnarray*} Z = 5+x^2 \end{eqnarray*}$ das uneigentliche Integral
$\begin{eqnarray*} I = \int_2^\infty \! \frac{10x}{(5+ x^2)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich bin durch Substituieren schon soweit, dass ich auf $\begin{eqnarray*} \int\ \! 5 * (5+x^2)^{-2} \, dz \end{eqnarray*}$ komme verwirrt

und inzwischen hast du wohl schon wieder vergessen , was denn aus 5+x^2 geworden ist? verwirrt

21.02.2011, 20:21

Kallisto

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RE: Uneigentliches Integral durch Substitution
Bleibt das nicht in der Ursprungsform erhalten?
Also als nichtsubstituierter Teil der Gleichung?
Wenn nicht, was muss ich damit machen?
- Auch im Vorfeld gesondert ableiten?

Oder kann ich es bevor ich Substituiere Kürzen? Das ergibt doch aber keinen Sinn?!

21.02.2011, 20:37

corvus

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RE: Uneigentliches Integral durch Substitution
.
wenn du substituierst,
muss überall die Variable x durch die neue Variable z ersetzt sein
hier:
$\begin{eqnarray*} I = \int_2^\infty \! \frac{10x}{(5+ x^2)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Substitution : z= 5+x^2 ->

$\begin{eqnarray*} I = \int_9^\infty \! \frac{5}{z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

aber das ist doch Grundkurswissen..

21.02.2011, 20:52

Kallisto

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RE: Uneigentliches Integral durch Substitution
Sorry, das is jetzt schon über 6 Jahre her und ich hab leider alles vergessen.
Ich wäre dir sehr sehr dankbar, wenn du mir das etwas ausführlicher erklären könntest, auch wenn's für dich wahrscheinlich total einfach is. Wieso kommst du im Zähler auf 2 und warum hast du plötzlich als untere Schranke 9?
Bin in solchen Sachen echt ne Null, tut mir leid. Hammer

21.02.2011, 21:17

corvus

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RE: Uneigentliches Integral durch Substitution

Zitat:

Original von Kallisto
Wieso kommst du im Zähler auf 2
sorry, da habe ich mich vertippt, sollte ja 5 sein - habs oben verbessert

und warum hast du plötzlich als untere Schranke 9?
weil bei der Substitution von x zu z auch die Grenzen angepasst werden müssen:
Beispiel: untere Grenze x=2 .. Substitution z=5+x^2 .. gibt untere Grenze z = 5+2^2= 9

also nochmal : alles was vorher in der Variablen x dastand muss nachher auf die Variable z
ungerechnet werden .. also auch das Differential dx , sowie die Grenzen von x .. usw

nebenbei: kannst du nun das Problem lösen:

$\begin{eqnarray*} I = \int_9^\infty \! \frac{5}{z^2} \, dz = \left[?Stammfunktion(z)?\right]_{9}^{\infty } = ? \end{eqnarray*}$

21.02.2011, 21:38

Kallisto

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ah okay, vielen Dank!
Soweit alles klar, doch wenn ich die Stammfunktion bilde komme ich auf $\begin{eqnarray*} -5 / z \end{eqnarray*}$ , was -5 / 9 bedeuten würde. Musterlösung ist aber positiv. Warum?

21.02.2011, 21:47

Zellerli

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Die Stammfunktion ist richtig, aber bedenke die korrekte Formel:

$\begin{eqnarray*} [ F(z) ]^a_b = F(a) - F(b) \end{eqnarray*}$

Mach das mal ausführlich und schau was passiert...

21.02.2011, 21:48

corvus

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Zitat:

Original von Kallisto
ah okay, vielen Dank!
Soweit alles klar, doch wenn ich die Stammfunktion bilde komme ich auf $\begin{eqnarray*} -5 / z \end{eqnarray*}$ ,
was -5 / 9 bedeuten würde.
Musterlösung ist aber positiv. Warum?

Stammfunktion ist richtig F(z)= - 5/z
ein bestimmtes Integral wird nun immer so ausgewertet:
F(an der oberen Grenze) minus F(an der unteren Grenze) = verwirrt

aber wozu brauchst du eigentlch für deinen Uniabschluss noch
sowas Uneigentlches? - Na ja, es ist hier sogar immerhin positiv..

aua, sehe gerade, es hat dir schon einer gehörig getrommelt.. smile

21.02.2011, 22:18

Kallisto

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Achja, stimmt... wegen soner Kleinigkeit kann man den Punkt verlieren, obwohl man sonst alles richtig angewendet hat. Sehr gefährlich. Naja jedenfalls kommt jetzt alles hin. Vielen, vielen Dank für die aufgewendete Zeit und Nerven! Freude

Ich werd mich sicherlich nochmal melden müssen irgendwann ^^

BTW: ich frag mich warum ich überhaupt sowas brauche ^^ Es ist nunmal einfach so...

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