part. diffabare fkt.

21.06.2004, 20:19	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
part. diffabare fkt. hey hab da ma wieder n knifflige frage an euch, wo ich nich so ganz weiterkomme!! Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen!! Sei f: R²->R differenzierbar mit D_1 f(x,y) = D_2 f(x,y) für alle (x,y) $\begin{align} \in \end{align}$ R². Zeigen Sie, dass eine differenzierbare Funktion b: R->R existiert, so dass: f(x,y)=b(x+y) für alle (x,y) $\begin{align} \in \end{align}$ R². danke schon mal im vorraus :]
21.06.2004, 23:56	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Weisst du, was eine Richtungsableitung ist? Wenn ja, dann berechne die Ableitung von f in Richtung (1, -1): $\begin{align} (D_{(1,-1)}f)(x,y) = \langle(1,-1), (\rm{grad}\,f)(x,y)\rangle \end{align}$ . Setze $\begin{align} g_{(x,y)}(s) := f(x+s,y-s) \end{align}$ und bestimme $\begin{align} g_{(x,y)}'(s) \end{align}$ . Berechne dann $\begin{align} f(x+t,y-t) - f(x,y) = g_{(x,y)}(t) - g_{(x,y)}(0) \end{align}$ . Gruss, SirJective
22.06.2004, 10:26	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
was eine richtungsableitung ist, weiß ich!! da hab ich dann bei f in richtung (1,-1) 0 raus!!! aber was sagt mir diese null meine zweite frage ist, wie ich auf die ableitung g´(s) komme?? muss ich da partiell differenzieren oder wie mach ich das?? und wozu brauch ich das bei dieser aufgabe??
22.06.2004, 11:49	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung von g ist genau diese Richtungsableitung. Schau dir nochmal die Definition der Richtungsableitung an, dann siehst's: $\begin{align} (D_v f)(x) := \frac{d}{dt} f(x+tv)\|_{t=0} \end{align}$ . Fuer v= (1, -1) ist also $\begin{align} D_v f (x,y) = \frac{d}{dt} g_{(x,y)}(t)\|_{t=0} = g_{(x,y)}'(0) = 0 \end{align}$ . Und es ist $\begin{align} g_{(x,y)}(s) = g_{(x+s,y-s)}(0) \end{align}$ , also ist $\begin{align} g_{(x,y)}'(s)=0 \end{align}$ fuer alle x,y,s. Siehst du nun, wozu das gut ist?
22.06.2004, 13:30	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaub, ich stell mich heut zu dämlich an!!! ich seh den zusammenhang immernoch nich
22.06.2004, 18:51	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du ausgerechnet, dass g'(s) = 0 ist, für alle x,y und s? Dann rechne aus, was f(x+t,y-t) - f(x,y) = g(t) - g(0) ist. (Tipp: Was kannst du aus g'(s)=0 über g aussagen?)
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22.06.2004, 19:29	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh jetzt hab is :] danke dir

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