Vektoren: Flächeninhalt berechnen

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mathe15965 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren: Flächeninhalt berechnen
Hallo

komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter und hoffe ihr könnt mir helfen.

Aufgabe:
Im Punkt Q = (5 , 7 , 10 ) befindet sich eine Lichtquelle.
Wie groß ist der Flächeninhalt des Schattens, der vom Dreieck mit den Eckpunkten P1 = ( 7 , 8 , 13 ) , P2 = ( 6 , 10 , 14 ) und P3 = ( 4 , 10 , 13 )
auf der Ebene

2x1 + 3x2- 1x3 = 14
anders geschrieben
2x + 3y - 2z = 14

erzeugt wird ?

Idee:
Ich hab mir das ganze erstmal bildlich vorgestellt dazu die Skizze.
Dabei habe ich mir gedacht das der Schatten eigentlich unendlich groß sein muss und das die Ebene 2x + 3y - 2z = 14 den Schatten irgendwie begrenzen soll.

Wir haben ja den Punkt Q und die Punkte P1, P2 und P3.
Man könnte doch erstmal einfach 3 Vektroren bilden mit:

QP1 , QP2 und QP3


und dann die Winkel zwischen den Vektoren berechnen.

Aber eigentlich hab ich noch keine richtige Idee die mich zum Ziel führt, weil ich nichts mit der Information 2x + 3y - 2z =14 anzufangen weiß.
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Hi im board, :welcome:

zuerst, guck Dir mal unser Latex kram an - damit wird vieles lesbarer, besonders, wennd as hier weitergeht.

Ich würde folgende Überlegung vorschlagen:

Von der Lichtquelle gehen Strahlen aus. Interessant sind die Strahlen , und . Die Geraden die durch diese Strahlen bestimmt werden durchstoßen irgendwo Deine Ebene.

Reicht das als Idee?

Nachtrag: Ich interpretiere die Aufgabenstellung so, dass die Größe (Flächeninhalt) des Schattens auf der Ebene gesucht ist.
mathe15965 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo

hab jetzt die Vektoren:


und drei Geraden Geradengleichungen gebildet.
















FRAGE:
Kann man als nächsten Schritt die 3 Schnittpunkte mit der Ebene bestimmen ?
Ich meine wir haben jetzt 3 Geraden die irgendwo die Ebene Schneiden müssen.
Die 3 Schnittpunkte müssten dann ja wieder zu einer neuen geometrischen Figur in der Ebene führen.
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe15965
FRAGE:
Kann man als nächsten Schritt die 3 Schnittpunkte mit der Ebene bestimmen ?
Ich meine wir haben jetzt 3 Geraden die irgendwo die Ebene Schneiden müssen.
Die 3 Schnittpunkte müssten dann ja wieder zu einer neuen geometrischen Figur in der Ebene führen.
Freude genau so.

Wie man Schnittpunkte von Geraden und Ebenen ermittelt, weißt Du?
mathe15965 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ganz sicher bin ich mir nicht aber ich würde die Schnittpunkte so berechnen:







in E einsetzen





















So, wenn das stimmen sollte was ich gemacht habe wäre das mein erster Schnittpunkt in der Ebene.
Mit den anderen zwei Punkten müsste es genau so gehn. Nur das man für den Schnittpunkt

anstelle von die Gerade einsetzt und für den Schnittpunkt die Gerade
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich antworte mal, weil Dein Helfer grade OFF ist.

Der Schnittpunkt und auch Deine Berechnung stimmen, und Deine Überlgungen zu den anderen Schnittpunkten sind auch richtig.
 
 
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »

und dann brauchst Du noch eine Fomel zur Flächenberechnung eines allgemeinen Dreiecks. Hast Du die?
mathe15965 Auf diesen Beitrag antworten »

So hab jetzt alle Schnittpunkte ausgerechnet:











Danach habe ich den Flächeninhalt einmal mit:
Vektorprodukt
und einmal mit
Satz des Heron
berechnet.

Komischer weiße habe ich 2 verschiedene Ergebnise herraus bekommen.

Vektorprodukt:
Satz des Heron:


Hab jetzt aber das Problem, dass mein Ergebnis nicht mit dem Ergebnis in der Lösung übereinstimmt. Diese soll für sein.
mathe15965 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab den Fehler gefunden Tanzen

Danke für eure Hilfe. Freude

Meine Lösung lautet jetzt auch

Ich habe vergessen aus den Schnittpunkten neue Vektoren zu bilden.










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