Normalverteilung ZGS

22.02.2011, 10:57

tohuwabou

Normalverteilung ZGS

Hi Matheboard Wink

ich hab für die folgende Aufgabe Null Punkte bekommen. Ich dachte eigentlich ich hätte sie gut beantwortet Augenzwinkern

. Könnt ihr mit bitte sagen, was falsch ist.

Aufgabe : Seien $\begin{eqnarray*} (X_i, i \ge 1) \end{eqnarray*}$ i.i.d. Zufallsgrößen , $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ stelle den (zeitlich gesehen ) i-ten gemeldeten Schaden eines Bestandes von Feuerversicherungen für Industriebetriebe in einem bestimmten Jahr dar. Es werden n Schäden gemeldet, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ "groß".

Ist $\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ in guter Näherung normalverteilt?
Begründen Sie ihre Antwort.

Nun zu meiner Antwort :

Da $\begin{eqnarray*} (X_i,i \ge 1) \end{eqnarray*}$ i.i.d., gilt nach dem ZGS

$\begin{eqnarray*} \mathfrak L \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i -n\mu}{\sqrt{n} \sigma}\right ) \rightarrow N(0,1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E[X_i]=\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var[X_i]=\sigma^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{n}\sigma \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i -n\mu}{\sqrt{n} \sigma}\right )= \sum\limits_{i=1}^n X_i -n\mu \sim N(0,n\sigma^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n X_i -n\mu +n\mu=\sum\limits_{i=1}^n X_i \sim N(n\mu,n\sigma^2) \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n X_i =S \end{eqnarray*}$ in guter Näherung normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} E[S]=n\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var[S]=n\sigma^2 \end{eqnarray*}$

Wäre sehr schön, wenn jemand den oder die Fehler zeigt .Danke schön

22.02.2011, 13:00

tohuwabou

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RE: Normalverteilung ZGS
MMn ist es auch sinnlos die als i.i.d anzunehmen.

Betrachtet man $\begin{eqnarray*} X_3 \end{eqnarray*}$ , so beschreibt es den zeitlich gesehen 3. Schaden.

Wie kann das unabhängig sein von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ ?

Schaden 3 kann ja schließlich nicht vor Schaden 1 oder 2 eintreten.

Ok Annahme halt, schön und gut.

23.02.2011, 12:20

piloan

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Vielleicht wollte er darauf hinaus, dass man bei Schadensfällen üblicherweise mit einem Poisson-Prozess modelliet.
Aber dann ätte man die Aufgabenstellung auch besser formulieren können smile

http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Prozess

Vielleicht hilfts.

Grüße

23.02.2011, 12:40

tohuwabou

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Hi piloan,

ich glaub, ich werde ihn mal drauf ansprechen und fragen, was er da von uns hören wollte. Vll kann ich meine Note noch etwas verbessern smile

23.02.2011, 13:06

Huggy

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Ich könnte mir vorstellen, dass es bei der Aufgabe darum ging zu begründen, weshalb man die Voraussetzungen des Zentralen Grenzwertsatzes als erfüllt annehmen darf, d. h. weshalb man annehmen darf, dass die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ identisch und unabhängig verteilt sind und ihre Verteilung eine endlichen Erwartungswert und eine endliche Varianz hat.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, ist nichts mehr zu rechnen. Der Zentrale Grenzwertsatz besagt doch gerade, dass dann die Summe der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ asymptotisch normalverteilt ist. Deine Rechnung ist also unsinnig und überflüssig. Sie enthält doch nur den Zusammenhang zwischen Normalverteilung und Standardnormalverteilung.

23.02.2011, 13:37

tohuwabou

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Zitat:

Original von Huggy
Ich könnte mir vorstellen, dass es bei der Aufgabe darum ging zu begründen, weshalb man die Voraussetzungen des Zentralen Grenzwertsatzes als erfüllt annehmen darf, d. h. weshalb man annehmen darf, dass die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ identisch und unabhängig verteilt sind und ihre Verteilung eine endlichen Erwartungswert und eine endliche Varianz hat.

Hi ,

mal ehrlich, ist die Aufgabenstellung nicht total Banane? Wenn man jetzt raten soll, was zu tun ist. Ich könnte mir aber gut vorstellen, dass du damit recht hast.

Am meinem 2ten Post sieht man ja schon, dass ich diese Frage aber nicht beantworten kann, da ich das i.i.d dort ja schon als für mich unverständlich bezeichnet habe. Weißt du , wieso man das so macht, bzw. hättest du eine sinnvolle Antwort auf diese Aufgabe?
Vielen Dank

23.02.2011, 13:40

tohuwabou

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Achso, ich glaub jetzt hab ich es gerade gepeilt Big Laugh

.

Also ist S nicht in guter Näherung normalverteilt ( Begründung in meinem 2. Post)

Meinst du, dass es so gemeint ist?

@Edit: Ach quatsch Big Laugh

, die werden ja als i.i.d. angenommen. Ach ich hab keine Ahnung.

23.02.2011, 15:55

Huggy

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Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass der Zeitpunkt eines Feuerschadens Einfluss auf seine Höhe hat. Und da die Höhe eines Schadens nach oben und unten beschränkt ist, existieren Mittelwert und Varianz der Verteilung.

23.02.2011, 16:09

tohuwabou

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Ich habe die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ so interpretiert, dass es eine Zufallsgröße dafür ist, wann

der i-te Schaden eintritt, nicht wie hoch dieser ist.

Wenn ich dich richtig verstehe, gehst du ja davon aus, dass die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die Höhe des Schadens beschreiben.

Bestimmt hast du damit recht. So könnte er es tatsächlich gemeint haben.

@Edit :
Vielen Dank

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