Durchschnittliches Wirtschaftswachstum berechnen

22.02.2011, 11:00

Mathexyz

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Durchschnittliches Wirtschaftswachstum berechnen

Meine Frage:
Im Jahr 1980 betrug das BIP der Schweiz 180,702,992,302 USD, im Jahre 2009
286,302,877,783 USD (inflationsbereinigt, Basisjahr 2000, Quelle: Word
Development Indicators, Weltbank). Berechnen Sie das durchschnittliche
jährliche Wirtschaftswachstum der Schweiz für diese Zeitspanne. Wie lange
braucht die Schweiz bei dieser Wachstumsrate um das BIP zu verdoppeln? Wie
hoch wird das BIP der Schweiz im Jahr 2030 sein, wenn die Schweiz im selben
Tempo wächst, wie seit 1980?

Meine Ideen:
In dieser Zeitspanne ist die Wirtschaft also um 31.875% gewachsen. Zuerst wollte ich dies einfach durch 29 (Jahre) teilen um die jährliche Wachstumsrate zu bekommen. Da das aber % sind geht das wohl kaum. Wie muss ich das berechnen?

Für die zweite Frage braucht es eine Formel, oder? Geht da die Zinsformel (200=100(1+Wachstum)^n)?

Mit der könnte man dann auch gleich Frage 3 einfach beantworten, oder?

22.02.2011, 11:13

kurellajunior

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Mit der Umkehrung dieser Formal kannst Du auch die erste Frage beantworten.

Einfach mal versuchen nach "Wachstum" umzustellen.

$\begin{eqnarray*} W&=&G(1+p)^n\\ p&=&? \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 11:50

Mathexyz

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Für was steht G und W?

W=G(1+p)^n
W/G=(1+p)^n
Ntewurzel(W/G)=1+p
Ntewurzel(W/G)-1=p

Also: p=Wurzel29(286,302,877,783/180,702,992,302)-1
p=(286,302,877,783/180,702,992,302)^(1/29)-1
p=1.6% pro Jahr? (Wirtschaftswachstum pro Jahr)

Für die Verdoppelung braucht die Schweiz X Jahre: 200=100(1+0.015995)^n
Ntewurzel(2)=1.015995
2^(1/n)=1.015995
Wie berechnet man da jetzt n?

Für die Frage nach dem BIP 2030:
286302877783(1.015995)^21= 399 529 358 000 (BIP 2030)

22.02.2011, 12:47

kurellajunior

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Zitat:

Original von Mathexyz
Für was steht G und W?

Grundwert und (Prozent)Wert

Zitat:

Original von Mathexyz
W=G(1+p)^n
W/G=(1+p)^n
Ntewurzel(W/G)=1+p
Ntewurzel(W/G)-1=p

Also: p=Wurzel29(286,302,877,783/180,702,992,302)-1
p=(286,302,877,783/180,702,992,302)^(1/29)-1
p=1.6% pro Jahr? (Wirtschaftswachstum pro Jahr)

Sieht richtig aus. Weigere mich nachzurechnen, bis Du mal das Latex ausprobierst Augenzwinkern

Augenzwinkern

nte wurzel sieht so aus: \sqrt[n]{x}

Zitat:

Original von Mathexyz
Für die Verdoppelung braucht die Schweiz X Jahre: 200=100(1+0.015995)^n
Ntewurzel(2)=1.015995
2^(1/n)=1.015995
Wie berechnet man da jetzt n?

Naja eigentlich willst Du ja X berechnen: $\begin{eqnarray*} 2=(1+0.015995)^X \end{eqnarray*}$ Sagt Dir Logarithmus was?

Zitat:

Der Logarithmus von a zur Basis b ist diejenige Zahl c für die gilt $\begin{eqnarray*} b^c=a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathexyz
Für die Frage nach dem BIP 2030:
286302877783(1.015995)^21= 399 529 358 000 (BIP 2030)

Das kann ich nicht ganz nachvollziehen verwirrt

verwirrt

Wieso 21? außerdem solltest Du Dich festlegen auf verdoppelt seit wann.

Jan

22.02.2011, 12:57

Mathexyz

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[29]{286302877783/180702992302}-1 \end{eqnarray*}$ demfall?

Logarithmus hatte ich vor vielen Jahren einmal ... aber kann mich garnicht erinnern wie man dies rechnen muss... (?)

Bei der dritten Frage ging es ja um folgendes:

Wie hoch wird das BIP der Schweiz im Jahr 2030 sein, wenn die Schweiz im selben Tempo wächst, wie seit 1980?

Darum (ich probiere es mit Latex Augenzwinkern

Augenzwinkern

): $\begin{eqnarray*} 286302877783(1.015995)^21 \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 13:00

mathexyz

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Hmm latex hat bei der zweiten Formel nicht ganz funktioniert Augenzwinkern

Augenzwinkern

.. meine natürlich:
$\begin{eqnarray*} 286302877783(1.015995)^(29) \end{eqnarray*}$

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22.02.2011, 13:18

kurellajunior

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Wenn Du mehr als ein Zeichen hoch^ oder tief_ stellen willst brauchst Du geschweifte Klammern.

Wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt[29]{\frac{BIP(2000)}{BIP(1980)}} \end{eqnarray*}$ also warum 29. Wurzel?

22.02.2011, 14:32

Mathexyz

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Hmmm meinte eigentlich 21 (du hattest gefragt wieso ich 21 Jahre nehme: 2030-2009=21 .. nicht?

Die anderen Teile stimmen demnach?

22.02.2011, 14:44

kurellajunior

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Zitat:

Original von Mathexyz
Hmmm meinte eigentlich 21 (du hattest gefragt wieso ich 21 Jahre nehme: 2030-2009=21 .. nicht?

Die anderen Teile stimmen demnach?

Ne ich wollte oben anfangen. Also erstmal das durchschnittliche Wirtschaftswachstum berechnen.

$\begin{eqnarray*} G=BIP(1980) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W=BIP(2009)=G(1-p)^? \end{eqnarray*}$

Was musst Du für das Fragezeichen einsetzen und wie lautet dann p?

22.02.2011, 14:51

mathexyz

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Hmmm das sind demfall 30 Jahre vom BIP 1980 zum BIP 2009 hab ich gerade überlegt ... folglich gilt für erste Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} p=(286302877783/180702992302)^{1/30}-1=1.55% Wachstum \end{eqnarray*}$

bei der zweiten hab ich ja ein Logarythmusproblem... und die dritte wäre demnach:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[20]{BIP2009/BIP1980} \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 15:01

kurellajunior

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huch mein Fehler, da steht ja 2009. (korrigiere ich oben)

Das sind dann aber nur 29 Jahre von Ende 1980 bis Ende 2009 - nicht 30.

Was wir für Teil be suchen ist in etwa: "Wie oft muss man (1+p) potenzieren, damit 2 rauskommt?" also $\begin{eqnarray*} 2=(1+p)^x \end{eqnarray*}$

Hier nochmal logarithmus allgemein: $\begin{eqnarray*} \log_ab=c \Leftrightarrow a^c=b \end{eqnarray*}$ Kannst Du mait obige Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umstellen?

22.02.2011, 15:45

mathexyz

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Wenn es 29 Jahre sind stimmt demfall 1.6% pro Jahr wachstum ja doch (hab zuerst ja mit 29 Jahren gerechnet).

Also Log(1.015995)2=X?

22.02.2011, 15:52

kurellajunior

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Zitat:

Original von mathexyz
Wenn es 29 Jahre sind stimmt demfall 1.6% pro Jahr wachstum ja doch (hab zuerst ja mit 29 Jahren gerechnet).

Also Log(1.015995)2=X?

Genau, der logarithmus von 2 zur Basis (1+p) ist die gesuchte Anzahl an Jahren (dabei ist das Startdatum vollkommen irrelevant!)
\log_{1+p}2 => $\begin{eqnarray*} \log_{1+p}2 \end{eqnarray*}$

Weißt Du wie man Logarithmen mit beliebigen Basen mit dem Taschenrechner berechnet?

22.02.2011, 15:58

mathexyz

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Also Teilaufgabe 1 und 2 stimmen unterdessen?

Hmm.. hab auf dem TR ein LOG( ... aber weiss nicht mehr wie ich das eingeben muss.

22.02.2011, 16:30

kurellajunior

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Teilaufgabe 1 stimmt, wenn Du alles richtig in den TR eingegeben hast (hab hier keinen zur Prüfung)

Für Aufgabe zwei benötigst Du ein Logarithmusgesetz:
$\begin{eqnarray*} \log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb} \end{eqnarray*}$ Auf Deinem TR gibt es wahrscheinlich ein $\begin{eqnarray*} \ln=\log_e \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \log=\log_{10} \end{eqnarray*}$ als Taste. Mit dem obigen Gesetz kannst Du beide Tasten verwenden um $\begin{eqnarray*} \log_{1+p}2 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln

24.02.2011, 11:32

Mathexyz

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Demfall a): 1.5995% Wachstum pro Jahr (es sind ja 29 Jahre von 1980 bis 2009 oder?)
b) $\begin{eqnarray*} \frac{log2}{log1.015995} \end{eqnarray*}$ = 43.68 Jahre
c) BIP 2009*1.015995^21= 3.995*10^11 (400 Mia oder?)

Vielen Dank für die Hilfe

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