Schnitt zweier Geraden

22.02.2011, 13:48

Mathe124

Schnitt zweier Geraden

Bestimmen Sie die Schnittmenge der folgenden beiden Geraden im R3 in Abhängigkeit
von a:
La: {3x + y - 5 = 0
y + 2az = 0 }
Ma: {2z - (a + 1) = 0
-y + (a + 1)z = 0}

Mein Problem ist jetzt die Darstellung der beiden Geraden.
Ich habe mir jetzt überlegt, dass ich vielleicht gucken muss für welches a die ersten zei geraden identisch sind und dann das selbe mit den zweiten. danach erst schneiden.

oder wie bekomme ich eine gleichung aus jeweis zwei teilgleichungen?

22.02.2011, 14:01

Helferlein

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Du hast zwei Möglichkeiten:
(1) Wenn Du es bei der angegebenen Form belässt, ist der Schnitt die Lösungsmenge eines Gleichungssystems mit vier Gleichungen und drei Unbekannten.

(2) Du kannst die beiden Geraden erst einmal separat betrachten und in die übliche Punkt-Richtungsform bringen. Danach schneidest Du sie, indem Du sie gleichsetzt.

22.02.2011, 14:20

Mathe124

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Hallo,
wenn ich das gleichungssytem aufstelle
und es vereinfache sieht es so aus

3 1 0 5
0 1 2a 0
0 0 2 a+1
0 0 (3a+1) 0

damit ich eine schnittmenge bekomme muss doch die zwite zeile gleich der dritten werden oder?

und wann sind die geraden dann windschief oder parallel? das ist nummer b)
brauche ich dafür die parameterform?

22.02.2011, 22:55

Helferlein

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Zitat:

Original von Mathe124
damit ich eine Schnittmenge bekomme muss doch die zweite zeile gleich der dritten werden oder?

Warum sollte es?
Die Schnittmenge ist die Menge aller Punkte, die sowohl auf der ersten, als auch auf der zweiten Gerade liegen. Also ist jede Lösung des Gleichungsystems auch gleichzeitig Element der Schnittmenge.

Bzgl. windschief und parallel: Das wirst Du nicht über die Schnittmenge herausbekommen, da sie in beiden Fällen leer ist. Die Parameterform wäre die geeignete Form um die Lagebeziehung zu bestimmen.

23.02.2011, 16:30

Mathe124

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Also ich habs nochmal versucht
die erste gleichung zusammengefasst ergibt:
3x-2az=5
und die zweite gleichung zusammengefasst
(2y)/(a+1)=(a+1)

jetzt möchte ich beide in die parameterform bringen:
da bin ich mir aber nicht sicher:

1) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5/3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5/3\\ 0\\ -5/2a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +r* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ (a+1)²/2\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmts denn bis dahin?

dann habe ich das gleichungssystem aufgestellt
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} (-5/3)t & 0r & -5/3 \\0 & (-(a+1)²/2)r & 0 \\ (-5/2a)t & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich die gleichung auf dreiecksform bringe:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} (-5/3)t & 0r & -5/3 \\0 & (-(a+1)²/2)r & 0 \\ 0 & 0 & -(5/2a) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

da a nicht 0 werden darf hat das gleichungssystem nie eine Lösung
aslo ist die schnittmenge die leere Menge.
richtig?

jetzt muss ich doch nurnoch gucken für welche a die richtungsvetoren lin ab und lin unab sind? und bin fertig.
richtig?
vielen vielen dank

24.02.2011, 17:46

Mathe124

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hat irgendjemand ne idee obs soweit richtug ist,
oder wo mein Fehler liegt?
vielen dank
Mathe124

24.02.2011, 18:23

Helferlein

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Sorry, hatte diesen Beitrag nicht mehr auf dem Schirm.

Die Parameterdarstellung ist leider falsch. Der Punkt stimmt noch, aber nicht die Richtung.
Es wäre aufgrund des Bruches auch einfacher, wenn Du das GLS zuerst so umstellst, dass z zur freien Variable wird.

24.02.2011, 20:15

Mathe124

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guten abend,
irgendwie stehe ich echt total auf dem schlauch.
die zwei koordintengleichungen stimmen aber doch, oder?
irgendwie weiß ich aber nicht wie man daraus eine parametergleichung macht.
in der ebene weiß ich wie es geht, da siuche ich mir ja drei punkte wobei der erste nur eine x-koordinate hat der zweite nur eine y-koordinate und der dritte nur eine z-koordinate. Aus diesen drei Punkten kann ich ja leicht die parametergleichung machen, da diese ja zwei richtungsvektoren hat.
eine gerade hat ja aber nur ein richtungsvektor und da weiß ich garnicht welchen meiner drei punkte ich nehme muss. also igendwie macht mich die aufgabe verrückt.
oder gibt es eine einfachere methode auf die parametergleichung zu kommen?
vielen dank

24.02.2011, 20:33

Mathe124

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hab noch was ausbrobiert für 1)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5/3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +s* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (2/3)a \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für 2
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ (a+1)²/2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +s* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber ich glaube das gibt auch keinen sinn, weil dann der zweite richtungsvektor null ist.
unglücklich

was mache ich bloß falsch

24.02.2011, 22:17

Helferlein

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Für die Umwandlung von der Gleichungsform in die Parameterform gibt es mehrere Möglicheiten. Ich zeig Dir am bestene mehrere, damit Du schauen kannst, mit welcher Du am besten zurecht kommst.

Du könntest beispielsweise die erste nach x und die zweite nach z umformen (sofern $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} 3x + y - 5 = 0 \Leftrightarrow x=\frac 53 - \frac 13 y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y + 2az = 0 \Leftrightarrow z=-\frac{1}{2a}y \end{eqnarray*}$

Die Parameterform wäre somit

$\begin{eqnarray*} g:x= \begin{pmatrix} \frac 53 - \frac 13 y \\ y \\ -\frac{y}{2a} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac 53 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -\frac 13 \\ 1 \\ -\frac{1}{2a} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine andere Möglichkeit ist die Bestimmung von zwei Punkten der Geraden durch Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} P(\frac 53 / 0 / 0) \quad und \quad Q(\frac 53+ \frac 23 a /-2a/1) \end{eqnarray*}$ sind Lösungen von Ma.
Bestimme dann die Gerade, die durch diese beiden Punkte verläuft:

$\begin{eqnarray*} g:x= \begin{pmatrix} \frac 53 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} \frac 23a \\ -2a \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.02.2011, 07:53

Mathe124

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guten morgen,
vielen dank

ok super danke.
zur methode 1 habe ich eine frage, kann man das y dann auch ersetzten durch eine andere variable z.b t? oder muss man etwas beachten.

und zu methode 2 da hast du doch den zweiten punkt Q frei gewählt, oder? d.h für z 1 eingesetzt und dann nach den anderen variablen aufgelöst?

ich versuche die aufgabe heute nochmal und poste sie dann

schönen tag
Mathe124

25.02.2011, 08:35

Mathe124

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also das erste gleichungssytem hab ich verstanden,
aber das 2te???

durch diese beiden gleichungen ist ja y=(a+1)²/2 und z=(a+1)/2 schon festgelegt und x ja immer 0.
Ich kann also gar keinen zweiten punkt finden außer $\begin{eqnarray*} \left(0/\frac{(a+1)²}{2}/\frac{(a+1)}{2}\right) \end{eqnarray*}$

kann ich dann garkeinen richtungsvektor bestimmen?

aber wie gehts dann weiter mit meiner schnittmenge?

25.02.2011, 09:04

Mathe124

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oder kann ich mir bei der zweiten gleichung die x koordinate frei wählen.
dass ich zwei punkte habe die sich nur in der x koordinate unterscheiden?

25.02.2011, 13:32

Helferlein

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Ja, da keine Bedingung an x gestellt wird, kann x beliebige Werte annehmen.
Du würdest also durch Variation von x zwei Punkte bekommen (obwohl die Richtung deshalb eigentlich schon klar sein sollte)

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