Anwendung Kurvendiskussion

29.11.2006, 10:09

x^9

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Anwendung Kurvendiskussion

Bei dieser Aufgabe bräuchte ich ein paar Tipps:

---

Der Innenbogen eines Tors lässt sich näherungsweise (x in m) durch die Funktion f mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=187,5-1,579 \cdot 10^{-2}x^2-1,988 \cdot 10^{-6}x^4 \end{eqnarray*}$

beschreiben.

a) Berechne Höhe und Breite des Innenbogens.
b) Wie groß sind die Winkel, die der Innenbogen mit der Grundfläche bildet?

---

Für a) ist die Breite doch eigentlich überall unterschiedlich. Aber da es eine umgekehrte Parabel ist, könnte man einfach die Nullstellen von f(x) berechnen, dann kennt man die zwei Schnittpunkte von x. Und dann?
Und die Höhe ist dann die Hochstelle von f(x) ?

Für b) habe ich keinen Ansatz.

29.11.2006, 10:20

Dual Space

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RE: Anwendung Kurvendiskussion
Also der Torbogen sieht nun also etwa wie folgt aus:

Als Breite würde ich nun den Abstand der Nullstellen angeben. Sicherheitshalber kannst du ja auch noch mal deinen Lehrer/deine Lehrerin fragen.

29.11.2006, 10:25

x^9

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Gut, danke schon mal.
Jetzt muss ich nur noch wissen wie ich die Höhe und b) rauskriege (denn die Hochstellen sind dann ja nur Koordinaten, nicht aber ein Abstand). smile

smile

29.11.2006, 11:22

Primzahl

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die höhe des tores kannst du doch nach dem selben schema lösen. y-koordinate des maximums ausrechnen und dann dessen abstand zu grundfläche bzw. der x-achse.
innenwinkel kannst du doch rauskriegen, indem du die steigung der tangente am innenbogen berechnest und den steigungswinkel davon.

29.11.2006, 11:57

Pat

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Wie berechnet man die Tangentensteigung und wo? An der Nullstelle?
y=mx+b
was ist jedoch m , x , b ?
mfG Pat

29.11.2006, 12:08

klarsoweit

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@Pat: was hat das mit dieser Aufgabe zu tun? verwirrt

verwirrt

Und was in der Geradengleichung y=mx+b die Werte m, x und b sind, solltest du wissen oder nochmal die entsprechende Schulklasse aufsuchen.

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29.11.2006, 15:05

Brain_Bug

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y=mx+b ist die allgemeine Form der Geradengleichung. Dabei ist m die Steigung der Geraden (für positives x steigt sie, für negatives x fällt sie) und b beschreibt die Stelle, an der die beschriebene Gerade die y-Achse schneidet. b ist also ein Punkt auf der y-Achse.
Es bleiben xund y übrig. Diese beiden Variablen stehen im Prinzip für die x- bzw die y-Koordinate.
Die Steigung berechnest du also, indem du m isolierst.

MfG

29.11.2006, 15:32

pseudo-nym

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verwirrt

Was wollt ihr denn mit euren Geradengleichungen? Die sind doch gar nicht gefragt. Alles was es hier braucht ist die Steigung in den Nullstellen.

29.11.2006, 16:22

El_Snyder

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allgemein kann man für die höhe die funktion z.b. auch durch quadratische ergänzung in die scheitelpunktform bringen. die y-koordinate des scheitelpunkts entspräche ja dann der gesuchten höhe. allerdings ist bei der gegebenen funktion die berechnung des maximums wohl wesentlich leichter Augenzwinkern

Augenzwinkern

für die breite addierst du einfach die x-koordinaten der beiden nullstellen, allerdings beide im positiven, es geht ja um die gesamte länge.

bei der b) musst du, wie pseudo-nym schon geschrieben hat, die steigung in den nullstellen herausfinden.
d.h.: x-koordinaten der jeweiligen nullstelle in f(x) einsetzen um die entsprechende y-koordinate zu berechnen. die beiden nun gefundenen punkte setzt du dann jeweils in die erste ableitung der funktion ein, da die bekanntermaßen auskunft über die steiung in einem punkte gibt smile

smile

den gefundenen wert rechnest du dann z.b. mit dem taschenrechner in ein winkelmaß um

29.11.2006, 16:35

yeti777

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RE: Anwendung Kurvendiskussion
Hallo x^9!

Will auch noch meinen Senf dazugeben.

1. Wegen f(x) = f(-x) ist die gegebene Funktion symmetrisch zur Ordinatenachse.

2. Weil die Terme mit x^2 und x^4 negatives Vorzeichen haben und x^2 und x^4 für beliebige x immer >= 0 sind, sieht man von blossem Auge, dass das Maximum bei x=0 liegt, also 187.5 beträgt.

@El Snyder: In den Nullstellen muss man f(x) nicht berechnen, weil es ja Nullstellen sind (y=0).

Gruss yeti

29.11.2006, 16:39

El_Snyder

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RE: Anwendung Kurvendiskussion

Zitat:

Original von yeti777
@El Snyder: In den Nullstellen muss man f(x) nicht berechnen, weil es ja Nullstellen sind (y=0).

stimmt, wäre zusätzliche arbeite smile

smile

naja, der vollständigkeit halber Big Laugh

Big Laugh

29.11.2006, 17:45

x^9

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Also, ich hab's jetzt mal versucht.

$\begin{eqnarray*} f(x)=187,5-1,579 \cdot 10^{-2}x^2-1,988 \cdot 10^{-6}x^4 \end{eqnarray*}$

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} a+bx^2+cx^4=0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a=187,5;~ b=-1,579 \cdot 10^{-2}; ~c= -1,988 \cdot 10^{-6} \end{eqnarray*}$

Substitution mit $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a+bz+cz^2=0~|:c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2+\frac{b}{c}z+\frac{a}{c}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=-\frac{b}{2c} \pm \sqrt{(\frac{b}{2c})^2-\frac{a}{c}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -3971 \pm \sqrt{3971^2+94300000} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1=6517 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=-14459 \end{eqnarray*}$

Muss man jetzt wegen der Substitution beide Werte quadrieren bzw. Wurzel nehmen... ??

29.11.2006, 17:55

yeti777

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Du hast soweit richtig gerechnet Freude

Freude

. Jetzt musst du wegen der Substitution noch die Wurzel ziehen, um die x-Werte für die Nullstellen zu erhalten (genauer Wert: +-80.75224).

Gruss yeti

29.11.2006, 17:58

x^9

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Also

$\begin{eqnarray*} x_1=80,73 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-80,73 \end{eqnarray*}$

Dann beträgt der Abstand doch 161,46 Meter?

29.11.2006, 18:09

x^9

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Zu b)

Also die Steigung der Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=187,5-1,579 \cdot 10^{-2}x^2-1,988 \cdot 10^{-6}x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-3158 \cdot 10^{-2}x-7,952 \cdot 10^{-6}x^3 \end{eqnarray*}$

Ist die Ableitung so richtig? Dann müsste ich

$\begin{eqnarray*} f'(80,73)=-3158 \cdot 10^{-2} \cdot 80,73-7,952 \cdot 10^{-6} \cdot 80,73^3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f'(-80,73)=-3158 \cdot 10^{-2} \cdot (-80,73)-7,952 \cdot 10^{-6} \cdot (-80,73)^3 \end{eqnarray*}$

berechnen. Und dann? Wie komme ich auf einen Winkel?

29.11.2006, 18:30

El_Snyder

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$\begin{eqnarray*} m = \tan \alpha \end{eqnarray*}$

29.11.2006, 18:37

x^9

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Also die Steigung der Nullstellen ist der Tangens. Um den Winkel herauszubekommen mache ich also $\begin{eqnarray*} tan^{-1} \end{eqnarray*}$ von den Werten?

29.11.2006, 18:56

x^9

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Stimmt das nun so?

29.11.2006, 19:17

El_Snyder

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$\begin{eqnarray*} arc tan \end{eqnarray*}$ ja.

29.11.2006, 19:32

x^9

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Okay, bitte überprüfen! smile

smile

---

Der Innenbogen eines Tors lässt sich näherungsweise (x in m) durch die Funktion f mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=187,5-1,579 \cdot 10^{-2}x^2-1,988 \cdot 10^{-6}x^4 \end{eqnarray*}$

beschreiben.

a) Berechne Höhe und Breite des Innenbogens.
b) Wie groß sind die Winkel, die der Innenbogen mit der Grundfläche bildet?

---

b)

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_1=80,73 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-80,73 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=187,5-1,579 \cdot 10^{-2}x^2-1,988 \cdot 10^{-6}x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-3158 \cdot 10^{-2}x-7,952 \cdot 10^{-6}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(80,73)=-3158 \cdot 10^{-2} \cdot 80,73-7,952 \cdot 10^{-6} \cdot 80,73^3=-2553,64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-80,73)=-3158 \cdot 10^{-2} \cdot (-80,73)-7,952 \cdot 10^{-6} \cdot (-80,73)^3=2553,64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}(-2553,64)=-89,98 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}(2553,64)=89,98 \end{eqnarray*}$

Kann das sein?

29.11.2006, 19:58

yeti777

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Du hast einen Kommafehler in der Ableitung! Die Ziffern stimmen.

Gruss yeti

29.11.2006, 20:14

x^9

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Ups, du hast Recht. Mir geht es aber eh weniger um die Werte, mehr darum, dass das Prinzip richtig ist.

29.11.2006, 20:37

yeti777

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Das Prinzip ist richtig Freude

Freude

. Da deine Ableitung wegen des Kommafehlers 100-mal zu gross ist, kriegst du einen Winkel nahe bei 90°. Meine Werte lauten: $\begin{eqnarray*} f'(-80.752)=6.7375 => Winkel = 81.558° \end{eqnarray*}$ . Analog $\begin{eqnarray*} f'(80.752)=-6.7375 => Winkel = -81.558 (GUZ) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 98.442 (UZ) \end{eqnarray*}$ .

Gruss yeti

PS. Im Graph von Dual Space hat sich ein Fehler eingeschlichen. Er hat $\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ in seiner Formel.

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