komplexe Nullstellen des reellen Polynoms

22.02.2011, 15:23

Konter

komplexe Nullstellen des reellen Polynoms

Hoffe das ich hier das richtig Poste. Suche verwendet und nichts passendes gefunden.

Ich schreibe im März meine Mathematik I Klausur. Wir haben Übungsaufgaben bekommen die wir so in den Vorlesungen gelöst bekommen. Ihr kennt das ja sicher.

Nun zur frage:

"Geben sie alle komplexe Nullstellen des reellen Polynoms.

$\begin{eqnarray*} F= x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} +1 \end{eqnarray*}$

sowie die reelle udn die komplexe Primfaktorenzerlegung von F an.

Formel wurde in der Lösung erstmal leicht aufgelöst.

$\begin{eqnarray*} x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} = -1 \end{eqnarray*}$

aber wie kommt man nun hier drauf:

$\begin{eqnarray*} x^{3} ( x^{6} + 3x^{3} + 3) = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} := T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T^{3} + 3T^{2} + 3T +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(T+1)^{3} \end{eqnarray*}$

Als erklärender Satz:

Die nullstellen von F1 sind genau die Nullstellen von x³ +1, d.h Lösungen der Gleichung x³ = -1

Hoffe ihr könnt mir hier ein bisschen weiterhelfen.
Werd wohl noch mehr fragen stellen...

22.02.2011, 15:36

Ibn Batuta

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Es steht ja eigentlich schon da, was gemacht wurde: eine Substitution.

$\begin{eqnarray*} x^{3} ( x^{6} + 3x^{3} + 3) = -1 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x^3:=T \end{eqnarray*}$ . Also setzt du ein:

$\begin{eqnarray*} T(T^2+3T+3)=-1 \end{eqnarray*}$

Das umgeformt: $\begin{eqnarray*} T^3+3T^2+3T=-1 \end{eqnarray*}$

Nun $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ umstellen und fertig.

Ibn Batuta

22.02.2011, 15:57

Konter

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okay das hilft mir weiter, und wie komm ich auf die ausklammerung

$\begin{eqnarray*} x^{3} ( x^{6} + 3x^{3} + 3) = -1<br /> \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 15:59

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Konter
okay das hilft mir weiter, und wie komm ich auf die ausklammerung

$\begin{eqnarray*} x^{3} ( x^{6} + 3x^{3} + 3) = -1<br /> \end{eqnarray*}$

Ist die Frage ernst gemeint?

Ibn Batuta

22.02.2011, 16:24

chrizke

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Die Frage ist doch viel eher: Wofür muss man bei dieser Aufgabe was ausklammern??
Der Sinn hat sich mir dafür noch nicht ganz erschlossen.

22.02.2011, 16:28

Konter

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

Zitat:

Original von Konter
okay das hilft mir weiter, und wie komm ich auf die ausklammerung

$\begin{eqnarray*} x^{3} ( x^{6} + 3x^{3} + 3) = -1<br /> \end{eqnarray*}$

Ist die Frage ernst gemeint?

Ibn Batuta

ja die frage ist ernst gemeint, ich seh es immoment einfach nicht

22.02.2011, 16:30

chrizke

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Du nimmst diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} +1=0 \end{eqnarray*}$

und rechnest auf beiden Seiten -1. Dann kannst du $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ausklammern.

22.02.2011, 16:39

Konter

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und muss das gemacht werden? ich seh darin kein sinn, wenn ich eh für x³ T ein setze

22.02.2011, 16:41

chrizke

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Ich seh da genauso wenig einen Sinn drin, das schrieb ich ja bereits oben.

Meiner Meinung nach verwirrt das nur - mehr als dass es hilft.

22.02.2011, 17:07

Konter

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und angenommen ich setze einfach T für jedes x³ ein:

$\begin{eqnarray*} T^{3} + 3T^{2} + 3T +1 \end{eqnarray*}$

darauf kam ja auch "Ibn Batuta"

wie würd ich weiter machen um auf $\begin{eqnarray*} (T+1)^{3} \end{eqnarray*}$ zu kommen

Ich hab was von '"Pascalsche Dreieck" gehört und mir das mal angeguckt.

Aber wie setze ich das ein.

Ich kopiere mal aus dem Wiki: "Das Pascalsche Dreieck gibt eine Handhabe, schnell beliebige Potenzen von Binomen auszumultiplizieren. So befinden sich in der dritten Zeile die Koeffizienten der ersten beiden Binomischen Formeln:"

Das heißt meine dritte Zeile sieht so aus :

1 3 3 1 die Zahlen nehm ich mir einfach aus der Formel.

daraus würde ich dann folgendes machen:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

aber damit komm ich immer noch nicht auf die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} = ( T + 1 )^{3} \end{eqnarray*}$

Wie les ich das genau ab, wie komm ich darauf, das das die Lösung sein soll, ich seh da leider noch nicht wirklich den zusammenhang.

22.02.2011, 17:16

chrizke

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Also im Pascal'schen Dreieck steht die dritte Zeile 1 3 3 1 für die Koeffizienten von allgemein gesprochen: $\begin{eqnarray*} (a+b)^3 \end{eqnarray*}$

Würdest du das nun per Hand ausmultiplizieren würdest du das erhalten:
$\begin{eqnarray*} \underline{1}a^3+\underline{3}a^2b+\underline{3}ab^2+\underline{1}b^3 \end{eqnarray*}$

Auf deine Lösung kommst du nun, wenn du b=1 setzt.

22.02.2011, 17:41

Konter

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ich versteh das grad so, das wenn ich die formel soweit auflösen kann, bis es nicht mehr geht, wird daraus x³ +1

das heißt die nullstellen sind genau die gleichen wie bei x³ + 1. d.h.

X1 = -1
X2 = 1/2 + 0.08660254038i
X3= 1/2 - 0.08660254038i

wenn das soweit richtig ist.

Und was ist "reelle und die komplexe Primfaktorenzerlegung"

22.02.2011, 18:04

Ibn Batuta

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Der Imaginärteil der komplexen Lösungen sollte $\begin{eqnarray*} \pm\frac{3}{2}i \end{eqnarray*}$ heißen und nicht $\begin{eqnarray*} \pm\frac{3}{20}i \end{eqnarray*}$ so wie du es hast.
Der Realteil ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Konter
Und was ist "reelle und die komplexe Primfaktorenzerlegung"

Ein reell normiertes Polynom $\begin{eqnarray*} P\in\mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ zerfällt über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, sodass es durch die dargestellt werden kann.

Ibn Batuta

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