Terminkollisionen

22.02.2011, 18:04	amateurmathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Terminkollisionen Meine Frage: Die Frage ist nach der Wahrscheinlichkeit von Terminkollisionen. Herr Schmidt möchte an Sitzungen mehrerer verschiedener Gremien (G1, G2, G3, ...) teilnehmen. Definitionen: Ein Termin = 1 Tag. K: Anzahl der Gremien Tx: Anzahl der Termine des Gremiums x (x= A, B, C, ...) N: Anzahl der Tage, an denen ein Termin eines Gremiums überhaupt stattfinden kann. Die Gremien sind alle unabhängig voneinander, die Tage sind alle gleichwertig, die Termine eines(!) Gremiums sind immer an verschiedenen Tagen. Die erste Frage lautet: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer Terminkollision, also dass Termine mindestens zweier verschiedener Gremien am selben Tag stattfinden, so dass Herr Schmidt sich entscheiden muss, an welcher Sitzung er teilnimmt. Meine Ideen: Anfangen müsste man wohl mit dem Binominalkoeffizient (Ta N), also die Anzahl der Terminkombinationen, die für das Gremium A überhaupt möglich sind. Dann könnte ich mir vorstellen, dass man das dann auch für das Gremium B macht und jetzt hörts bei mir auf. Denn nun müsste man ja die Häufigkeiten ermitteln, wo eine beliebige Terminkombination für A EINEN(!) identischen Termin mit einer beliebigen Terminkombination für B ergibt. Und das dann für alle Gremien.
24.02.2011, 20:56	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Terminkollisionen wenn du schon die Gremien indizierst 1..k dann kannst du auch den Termine T und den Tagen N denselben index 1..k geben. G1,G2,...,Gk Gremien T1,T2,...,Tk Anzahl Termine je Gremium N1,N2,...,Nk Anzahl möglicher Tage für einen Termin je Gremium Das macht es etwas übersichtlicher,also z.B. G4 hat T4=3 Termine an N4=200 möglichen Tagen(in einem Jahr?) Muss ich das so verstehen,dass die Gremien Ihre Jahres (Monats?)-Termine für sich alleine bestimmen und am Ende werden alle Termine auf der großen Wandtafel-Tafel eingetragen, Kollissionen sind nun denkbar. Bitte noch um weitere Angaben!
24.02.2011, 21:31	amateurmathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Terminkollisionen klar das mit der einheitlichen Indizierung. Die Aufgabenstellung hast du richtig verstanden. Ich ergänze: N (ohne Index) ist die Gesamtzahl aller Tage, also gilt Ni =< N für alle i=1 ... k. Ich würde ggf. nun so weitermachen: Also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} N \\ T_{1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist die Anzahl der Möglichkeiten für G1, T1 Termine aus den gesamten N Tagen auszuwählen. Für das Gremium 2 könnte man nun zunächst die Frage umgekehrt stellen, also welche Terminkombinationen von G2 führen NICHT zur Kollision mit den Terminen von G1? Das wären dann alle Kombinationen mit den noch verbliebenden freien Tagen, also N-T1. Die Anzahl der Möglichkeiten T2 Termine aus den N-T1 Tagen auszuwählen wäre also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} N-T_{1} \\ T_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Anzahl der Möglichkeiten zwei Gremien G1 und G2 mit Terminanzahl T1 bzw. T2 kollisionsfrei zu legen ist also das Produkt aus beiden: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} N \\ T_{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-T_{1} \\ T_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Anzahl aller Möglichkeiten Termine für G1 und G2 festzulegen ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} N \\ T_{1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} N \\ T_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit die Wahrscheinlichkeit für Kollisionsfreiheit $\begin{eqnarray} p = \frac{\begin{pmatrix} N \\ T_{1} \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} N-T_{1} \\ T_{2} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ T_{1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} N \\ T_{2} \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$ , bzw. die Kollisionswahrscheinlichkeit pk ist dann pk=1-p. Liege ich soweit richtig?
25.02.2011, 00:05	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die ganze Rechnung ist gut nachzuvollziehen und auch absolut plausibel.

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