Integral berechnen

22.02.2011, 19:00

chem1ker

Integral berechnen

Zitat:

Berechnen Sie folgendes Integral :

$\begin{eqnarray*} \int \! te^{-2t} \, dt \end{eqnarray*}$

das waren immer so Aufgaben, an denen ich in der Übung gescheitert bin.
Eventuell Substitution oder partielle Integration anwenden.
Ich weiß jedoch nie genau was, bzw. wenn ich was mache, wird die Aufgabe danach noch komplizierter...

Vom Gefühl her, würde ich hier auf partielle Integration zurückgreifen, da keine Brüche bzw. Wurzeln, welche durch Substitution vereinfacht werden müssten.

$\begin{eqnarray*} \int \! te^{-2t} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u =t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v' = e^{-2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v = - \frac{1}{2} e^{-2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\! u(x)*v'(x) \, dx = u(x)*v(x) - \int\! u'(x)*v(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = t*- \frac{1}{2} e^{-2t} - \int\!- \frac{1}{2} e^{-2t} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = t*- \frac{1}{2} e^{-2t} + \frac{1}{2} \int\! e^{-2t} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{1}{2} t e^{-2t} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- 2 t e^{-2t} + \frac{1}{2} + C \end{eqnarray*}$

wirklich vereinfacht ist das jetzt ja nicht....

22.02.2011, 19:05

Cel

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In der vorletzten Zeile ziehst du ab, statt des Minus muss dort ein Mal stehen und dann wird es auch richtig.

22.02.2011, 19:31

chem1ker

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stimmt, dadurch, dass ich das - 1/2 vorgezogen habe, ist dieser Fehler entstanden.

sonst:

$\begin{eqnarray*} = t*- \frac{1}{2} e^{-2t} - \int\!- \frac{1}{2} e^{-2t} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{2}t e^{-2t} - ( \frac{1}{4} e^{-2t} ) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{2}t e^{-2t} - \frac{1}{4} e^{-2t} + C \end{eqnarray*}$

aber wie vereinfach ich das jetzt noch?

22.02.2011, 19:52

Halliday

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Das wars eigentlich schon, die einzige Schönheitskorrektur, die du noch machen kannst ist ausklammer, nämlich -1/4e^-2t, dann steht da:

(-1/4)*e^-2t*(2t+1) + C

22.02.2011, 21:24

chem1ker

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stimmt klar

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} e^{-2t} (2t+1) + C \end{eqnarray*}$

Dankeschön smile

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