Prüfen, ob 3 Punkte in einer Ebene liegen - ohne Hilfsmittel

22.02.2011, 19:10	Ashoka	Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen, ob 3 Punkte in einer Ebene liegen - ohne Hilfsmittel Hi Leute ich steh kurz vorm Abitur und belege Mathe Grundkurs. Nun bereite ich mich auf das Vorabitur vor und was mir noch Kopfzerbrechen bereit ist das Problem, dass wir schon ein paar mal im Unterricht die Aufgabe bekommen haben, zu testen ob 3 gegebene Punkte eine Ebene bilden! Geg.: A (4 \| 3 \| 1) B (2 \| -1\| 5) C (-6 \| 2 \| 4) Meine Lösungsansätze: 1. Als erstes habe ich mit dem Vektorprodukt geprüft, ob die Vektoren AB und AC Parallel liegen -> tun sie nicht. Die anderen grob überflogen tun es auch nicht. 2. Habe ich eine Ebene aus den Vektoren 0A , AB und AC gebildet. -> Darf man doch oder? Die Ebenengleichung lautet somit: e: x0 = (4 , 3 , 1) + s ( -2 , -4 , 4) + t ( -10 , -1 , 3) (Vektorenschreibweise geht hier leider net) Nun würde ich den Punkt B für x0 einsetzen, umstellen und über das Gleichungssystem S und T ermitteln. Stimmt das? Wenn ja,: könnte es mir mal jemand darstellen wie das genau funktioniert. Diese Gleichungssysteme ohne GTR zu lösen fällt mir immer etwas schwer Grüße, Ashoka. P.s: Google & Co. haben mir dazu leider keine brauchbaren Ergebnisse liefern können. Viele Aufgabe beziehen sich immer auf 4 Punkte, oder zu gegebenen Ebenen.
22.02.2011, 19:23	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wenn ich jetzt keinen Blackout habe (kommt auch mal vor ), gibt es doch nur drei Möglichkeiten: 1) Die 3 Punkte sind gleich. Das ist offensichtlich nicht der Fall. 2) Die 3 Punkte liegen auf einer Geraden. (Auch dann liegen sie natürlich auf einer Ebene, die aber nicht eindeutig bestimmt ist.) 3) Wenn beides nicht der Fall ist, bilden die 3 Punkte tatsächlich ein Dreieck und bestimmen somit eine Ebene. Es wäre also nur noch zu testen, ob die Punkte auf einer Geraden liegen. Ach ja, du hast ja schon überprüft, daß AB und AC nicht parallel sind. Für Vektoren mit gleichem Anfangspunkt (A) bedeutet "nicht parallel" ja dann wohl "nicht auf einer Geraden". Und da A, B und C verschieden voneinander sind, müßte damit die Aufgabe doch schon gelöst sein, oder?
22.02.2011, 19:36	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
sehe ich auch so. Drei Punkte definieren immer genau eine Ebene außer sie liegen auf einer Geraden (oder min. 2 sind identisch) Mit dem Nachweis, dass zwei Verbindungen dieser Punkte nicht kolinear sind, ist die Prüfung abgeschlossen.
22.02.2011, 19:36	Ashoka	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab bei einer alten Klausur mir als Lösung hingeschrieben was der Lehrer sagte: Dass das Kreuzprodukt nicht 0 sein darf und dadurch, dass AC und AB nicht parallel sind auch die Punkte ABC nicht in einer Ebene liegen. Also ist das alles? Aber wenn ich mir das mal skizziere, also sich die Vektoren unter irgend einem Winkel von einander weg bewegen, spannen sie doch eine Ebene auf....
22.02.2011, 20:02	Ashoka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach nun versteh ich es Ein Vektor ist ja nur ein Repräsentant von vielen die irgendwo anders im Raum liegen. D.h. wenn ich die aufgespannte Ebene von der Seite betrachte, müssten die Vektoren eine parallel liegen und dass tun sie ja nicht. Danke für die Antworten , mit den Gleichungssystemem setze ich mich nochmal gesondert auseinander

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