Rotationsvolumen (zwischen cos und sin)

22.02.2011, 20:23	Buwe	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsvolumen (zwischen cos und sin) Meine Frage: Hallo erstmal =) Ich rechne hier schon ewig an einer Aufgabe rum aber komm immer auf ein Ergebnis, was nicht so wirklich richtig sein kann. Ich hoffe Ihr könnt mir meinen Fehler aufzeigen. Frage: Welchen Rauminhalt besitzt der Drehkörper, der entsteht, wenn die zwischen den Graphen der Funktionen y=f(x)=2sin(x) und y=f(x)=2cos(x) für 0?x eingeschlossene Fläche um die x-Achse rotiert? Es ist die Fläche zwischen x=0 und dem ersten Schnittpunkt der Beiden Kurven gemeint. Meine Ideen: Mein Ansatz: Ich bilde die zwei Rotationsvolumen und subtrahiere sie dann voneinander. $\begin{eqnarray} \pi \int_0^\frac{\pi }{4} \! (2sin(x))^2 \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi \int_0^\frac{\pi }{4} \! (2cos(x))^2 \, dx \end{eqnarray}$ jeweils vereinfachen $\begin{eqnarray} 4\pi \int_0^\frac{\pi }{4} \! sin^2(x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4\pi \int_0^\frac{\pi }{4} \! cos^2(x) \, dx \end{eqnarray}$ dann ... $\begin{eqnarray} 4\pi \left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x) }{4} \right]^\frac{\pi }{4} _{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4\pi \left[\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x) }{4} \right]^\frac{\pi }{4} _{0} \end{eqnarray}$ da alles Null wird, wenn man Null einsetzt fällt das weg also wird nur $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray}$ betrachtet wenn ich dann also $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray}$ einsetzte und vereinfache steht da $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2 }{2} -\pi \sin(\frac{\pi }{2} ) = 4,8487 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\pi^2 }{2} +\pi \sin(\frac{\pi }{2} ) = 5,0209 \end{eqnarray}$ dann ist 5,0209 - 4,8487 = 0,1722 so ich finde den Fehler einfach nicht, wenn wenn ich mir das zeichnen lasse, kommt da doch niemals so ein kleines Ergebnis raus. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen =)
22.02.2011, 20:48	Buwe	Auf diesen Beitrag antworten »
oder ist mein Fahler, dass ich $\begin{eqnarray} \sin(\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray}$ eingesetzte habe und nicht $\begin{eqnarray} \sin(90°) \end{eqnarray}$ gerechnet habe was ja $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ entspräche. dann würde 1 rauskommen und das Gesamtergebnis ( $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ ) würde viel mehr sinn machen. nur kann mir dann vllt jemand erklären, wieso ich 90° einsetze und bei $\begin{eqnarray} \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray}$ einsetze? das versteh ich nich so ganz mal Bogenmaß mal nich oder wie?
22.02.2011, 21:02	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsvolumen (zwischen cos und sin) Du hast das vermutlich im Taschenrechner eingetippt und der steht noch im Gradmaß. Stell das mal um auf Bogenmaß, dann kommst du auch auf vernünftige Resultate. Oder schmeiß den blöden Taschenrechner in die Ecke und rechne es vernünftig aus. Denn es ist zum Beispiel $\begin{eqnarray} \sin \left ( \frac{\pi}{2} \right ) = 1 \end{eqnarray}$ Wenn man sowas weiß, dann muss man gar nicht erst mit dem Taschenrechner rumfummeln. Edit: Deinen zweiten Beitrag hatte ich nicht gesehen. Ja, 2 pi ist das richtige Ergebnis.

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