Summe bestimmen

22.02.2011, 22:00	1234567890	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe bestimmen Hallo Ich bin auf diese Reihe gestoßen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty k(x-2)^{-k} \end{eqnarray}$ Diese möchte ich auf Konvergenz untersuchen, und die Summe berechnen. Ich vermute, dass man die irgendwie zu einer geometrischen Reihe umformen kann. Sieht da evtl. jemand eine Möglichkeit?
22.02.2011, 23:34	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre eine Vereinfachung, wenn du $\begin{eqnarray} x-2:=u \end{eqnarray}$ ersetzt und die so entstehende Reihe in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ betrachtest. Eine geometrische Reihe ist das aber nicht, denn für die Potenz gilt zwar die Vorschrift für die geometrische Folge, aber der Faktor vorher stört die Harmonie.
23.02.2011, 11:04	1234567890	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hilft mir leider auch nicht wirklich, da mir scheinbar die entscheidende Idee fehlt. Das einzige, was mir eingefallen ist ist, dass die Summe ja eigentlich bei k=1 beginnt und man da ja ein, u^-1 ausklammern kann.
23.02.2011, 11:14	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe bestimmen Schreibe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty k(x-2)^{-k} = -(x-2) \cdot \frac{d}{dx} \left(\sum\limits_{k=0}^\infty (x-2)^{-k} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt bist du einer geometrischen Reihe deutlich näher.
24.02.2011, 09:55	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe bestimmen Und elementar - ohne Differentialrechung - : $\begin{eqnarray} \text{Sei } \|y\|<1. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dann gilt: } \left(\frac 1{1-y}\right)^2=\left(\sum_{n=0}^\infty y^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty(n+1)y^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty ny^n=\frac y{(1-y)^2}. \end{eqnarray}$ Jetzt nur noch was passendes für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ einsetzen - fertig!
24.02.2011, 12:12	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe bestimmen Noch elementarer - und ebenfalls ohne Differenzialrechnung - geht es so $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (n+1)y^n = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 + y+y^2+y^3+y^4+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \ \quad \quad y+y^2+y^3+y^4+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \ \quad \quad\quad \quad y^2+y^3+y^4+... \end{eqnarray}$ ... wonach dann zum Aufsummieren die Kenntnis der Summenformel für unendlich geometrische Reihen vollkommen ausreicht... Übrigens, bevor man mich des Plagiats bezichtigt, die Idee dazu ist bei Caesar geklaut ("Divide et impera!")...
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