Exponentialverteilung

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piloan Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung
Hi
ich sollte einmal zeigen ,dass für eine exponentiellverteilte Zufallsvariabel X mit Parametet und gilt:



das habe ich eigentlich ganz gut hinbekommen ...nun soll ich zeigen,dass fuer eine positive Zufallsvariable mit der Eigenschaft gilt, das sie exponentialverteilt ist....hier weiss ich nicht wie ich die Eigenschaft ausnutzen soll....
gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage ist falsch. Ich schätze mal, du meinst eigentlich die bedingte Wahrscheinlichkeit

,

das wäre dann richtig für die Exponentialverteilung.
 
 
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

sorry natuerlich...

bei 1bin ich dann so vorgegangen:

usw ....dann kam das richtige dabei raus ...
gruß smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umkehrung der Aussage ist etwas kniffliger:

Sei . Dann muss wegen bei die Funktion die Funktionalgleichung erfüllen. Mit ähnlichen Techniken wie bei der Cauchyschen Funktionalgleichung kommt man sehr rasch zu sowie für positive ganze Zahlen .

Nun kann man nachweisen, weil andernfalls keine positive Zufallsgröße sein kann. Dann setzt man und hat



für alle positiven rationalen nachgewiesen. Wegen der Monotonie von erhält man Darstellung (*) dann schließlich auch für alle positiven reellen über Intervallschachtelung und Stetigkeit der Exponentialfunktion.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ok ...das habe ich alles verstanden .Eine Frage habe ich noch zur Cauchy-Funktionalgleichung....darf ich g(na)=g(a)^n einfach daraus folgern oder muss ich das noch irgendwie zeigen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann bzw. sollte man durch vollständige Induktion über zeigen.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich gemacht ...ging ja super leicht ...danke. ...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Sei U eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable. Berechenen Sie die Dichtefunktionen von

1.)
2.)


Ok mein Ansatz

Wenn die Verteilungsfunktion F stetig differenzierbar ist, dann ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion. Heisst das ich muss nur ableiten ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was ableiten, und wonach?
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ja das weiss ich eben nicht...weiss garnicht ob das X=-logU jetzt meine Verteilungsfunktion ist , quasi kann ich mit der schreibweise nix anfangen . unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Zufallsgröße, mit bekannter Verteilung(sfunktion). Jetzt wird daraus gemäß Transformation



eine neue Zufallsgröße gebildet - mehr geschieht hier nicht! Und zur Bestimmung der Verteilung von gibt es zwar Transformationssätze, die man sich aber nicht unbedingt merken muss, denn das kann man sich auch schnell so erklären: Gemäß Definition der Verteilungsfunktion ist . Und jetzt kann man (*) einsetzen und das Ereignis in der Wkt. äquivalent umformen, gemäß üblichen Regeln für Ungleichungsumformungen:



Jetzt da nur noch die Verteilungsfunktion



einsetzen, fertig.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

hi
soll ich hier
das einsetzen



und dann hab ich
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich weiss nun das sich die neue Verteilungsfkt so zusammensetzt:


ausserdem weiss ich,dass



da U gleichverteilt ist.

ich hab keine ahnung ob davon was stimmt so am fruehen morgen Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also einsetzen bedeutet was anderes:

Für ist ja bekanntlich , also kommt beim Einsetzen von der mittlere Zweig zur Geltung, heißt .

Für dagegen ist , also kommt dort der letzte Zweig zur Geltung, demnach . Insgesamt folgt:

piloan Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ok das habe ich verstanden ...somit habe ich dann die Verteilungsfunktion fuer X bestimmt ...aber muss ich nicht noch die dichtefkt bestimmen ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann leite doch ab, schließlich ist

für fast alle .
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

für fast alle




ist das korrekt ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. An der Stelle ist zwar nicht differenzierbar, aber das macht nix. Die Dichte ist ja nicht als Ableitung der Verteilungsfunktion definiert, sondern umgekehrt: Die Verteilungsfunktion muss Integralfunktion über die Dichte sein:

piloan Auf diesen Beitrag antworten »

danke!!...
bei der nr 2 mach ich das analog





ist das ok?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
piloan Auf diesen Beitrag antworten »





da U wieder gleichverteilt ist kann ich das ja wieder einsetzen ...aber diesmal gilt doch fuer jedes t, dass zwischen 0 und 1 liegt

daraus folgt :



? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan

Unsinn - das ist eine falsche, weil gedankenlose Übertragung des ersten Beispiels.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »



Dann hab ich stehen :



aber da


und U gleichverteilt ist folgt




jetzt richtig ? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Oben war das 1-P(..) nötig, weil ein U>... statt des geforderten U<... da stand - hier stimmt es ohne diese "Invertierung".
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ja ...hatte garnicht mehr gesehen,dass es da sofort stand ..... Augenzwinkern

dann bekom ich fuer meine dichte:

muss ich eigentlich beim arctan und tan nicht auf Def.lücken aufpassen oder ist das egal ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
muss ich eigentlich beim arctan und tan nicht auf Def.lücken aufpassen oder ist das egal ?

Bisschen spät, jetzt dran zu denken, aber besser spät als nie. Augenzwinkern
Die richtige Stelle für solche Gedanken wäre hier gewesen:



Aber es ist alles gut gegangen, da durch den Wertebereich auf jeden Fall



gilt, und eingeschränkt auf dieses Intervall ist der Tangens stetig und streng monoton wachsend und daher umkehrbar.


P.S.: Falls der Einwand kommt, dass U auch gleich 0 oder 1 werden kann: Geschenkt, das passiert nur mit Wkt 0, das interessiert nicht. smile
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

schön das hab ich nun alles verstanden ...
jetzt habe ich schon versucht das Verstandene anzuwenden.weiss aber nicht was ich falsch mache...

hier steht


X_1...X_n sind unabhaengig und exponentialverteilt mit Parameter

und

es soll gelten



nun hab ich



definiere ich die maximale Zufallsvarible mit
und dann wollt ich



aber irgendwie klappt das weiter net ....denke das muss an dem M_n liegen ,was ich da falsch mache , oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verteilung des Maximums von Zufallsgrößen ist schon wieder ein ganz eigenes Kapitel, siehe z.B. hier.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

jo ..soll ich dann ein neues kapitel aufmachen?..dachte nur dann ist nicht zu viel von mir da .....nicht das es einen stoert Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, lass mal, passt schon noch zur Überschrift "Exponentialverteilung".
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Teil der Aufgabe war ...


sind unabhaengige ZV mit Verteilungsfunktionen .


Bestimmen Sie Verteilungsfkt







ich verstehe den Schritt, den man ausnutzt fuer die Unabhängigkeit aber ich verstehe ich deinem link den zusammenhang mit dem maximum nicht ...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

heisst das quasi

das ist das Maximum (weiss zwar net warum da ne klammer um das n ist....heißt das max? Augenzwinkern )

dann muss dieses

alle erfuellen , daraus folgt dann durch

unabhaengigkeit der 2. Schritt ?....

das was du hier geschrieben hast geht doch nur,wenn die ZV identisch sind und mit einer Verteilungsfkt verteilt werden , oder ?


ich hab naemlich neben den beiden Aufgaben noch 2 weitere die aehnlich aufgebaut sind nur mit anderen verteilungen als



und soll immer grenzwerte bestimmen ...aber da ich nicht weiss wie ich damit rechnen muss , ist das ein wenig bloed Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur eine Schreibweise aus dem anderen Thread, die ist nicht allgemeingültig - wichtig ist nur der Inhalt:



ist allgemeingültig, für alle Zufallsgrößen! Was in den Klammern P(...) steht, wird nämlich nur auf Ereignisebene äquivalent umgeformt. Die nächste Identität



benutzt die Unabhängigkeit der Zufallsgrößen , mehr nicht! Also nicht etwa identische Verteilung, die braucht man bis hierhin nicht. Du musst dir die einzelnen Schritte sorgfältig abklopfen!
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ...dann habe ich die schritte abgeklappert dann folgt

und hier ist dann ende beim weiter zusammenfassen...aber das glaube ich nciht sondern ich denke ich mach einen fehler....
habe mir aber auch nochmal die MAximumverteilung im Skript durchgelesen aber die sprechen da immer von einer Verteilungsfkt und nicht von mehreren wie bei mir unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, stimmt doch! Es sei denn, ihr habt die Verteilungsfunktionen gemäß statt definiert, dann musst du die ganzen < durch < ersetzen.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

also ist das die loesung fuer die aufgabe : bestimmen sie die Verteilungsfunktion fuer M_n

?... aber wie soll ich denn mit dieser menge in der Grenzwertaufgabe der exponentialverteilung weiterrechnen ...?

ist mir alles noch einwenig suspekt Hammer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na setz doch einfach mal ein, nur Mut! Beginnend hier, wo du schon mal warst, nur etwas korrigiert

.

Und jetzt noch etwas umformen und Grenzwert bilden.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt seh ichs auch Freude

also geht das fuer analog fuer X_1 ...X_n Cauchyverteilt a_n =n und b_n=0


.Dann die Definition der Verteilung einsetzen und den Grenzwert betrachten ....hoffe das stimmt endlich

Also kann ich fuer die 1.) auch noch weiter schreiben :

und das ist dann meine Lösung fuer die Verteilungsfunktion...

danke fuer die geopferte Zeit Freude
ichverstehalles Auf diesen Beitrag antworten »

sorry
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