Maximale/Primideale vs. Polynomring

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Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale/Primideale vs. Polynomring
Hallo, ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Zitat:
Sei R ein kommutativer Ring, der kein Körper ist, und sei ein maximales Ideal von . Zeige, dass ein Primideal ist, aber kein maximales.


Ich weiß, dass:

. Dabei ist natürlich , und da ein maximales Ideal ist, ist es auch ein Primideal.

Und was zu zeigen ist, entspricht:




Ich habe schon ein bisschen per Widerspruchsbeweis herumprobiert, aber kam da auch zu keinem Ergebnis. Also bzgl. Integritätsring/Primideal:

Angenommen und

Bzw. anders formuliert

Die Polynome auszumultiplizieren, hat mich nicht weitergebracht. Nebenbei weiß ich noch, dass , da

Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte. Ich wollte die Aufgabe gerne über den Ansatz mit den Restklassenringen lösen, aber ich wäre auch vor Hinweise dankbar, wie man es von den "einfachen" Definitionen von maximales Ideal und Primideal angehen kann.

Danke schonmal
m-power Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es gilt die Isomorphie wobei ein Körper ist.

Allgemein gilt, dass Polynomringe über Körper Hauptidealringe und somit Integritätsringe sind.

Dass kein Körper ist, ist klar.

Damit folgt die Behauptung.

Gruß,
m-power
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von m-power
es gilt die Isomorphie wobei ein Körper ist.

Richtig ist, dass wobei ein Integritätsring ist...
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Euch beiden, ich versuch's mal
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
[...] wobei ein Integritätsring ist...


Aber ist doch ein in maximales Ideal, womit ein Körper sein sollte.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt folgenden Isomorphismus definiert:



und meiner Meinung nach ist es mir gelungen zu zeigen, dass dies ein wohldefinierter Isomorphismus ist.

Da nach Aufgabenstellung ein Körper und somit ein Integritätsring ist, ist auch ein Integritätsring und somit auch wegen der Isomorphie. Also ist ein Primideal.

ist kein Körper, da bspw. und in einem Korper gibt es genau die Ideale und . Also ist nicht maximal.

Ich fürchte, das geht auch eleganter. Also Polynomringe über einem Körper sind ohnehin niemals selbst ein Körper, richtig? Ich tue mir da etwas schwer bei endlichen Körpern. Man unterscheidet die Polynome etc. auch dann, wenn sie im jeweiligen Körper als Abbildung identisch sind (d.h. wenn alle Elemente unter den Polynomen das selbe Bild haben), stimmt's? D.h. im Polynomring über jedem Körper?

Ist meine Argumentation oben schlüssig? Irgendwie sind Restklassenbetrachtungen (inkl. Isomorphie etc.) an mir bisher vorbeigezogen bzw. ich hab es immer geschafft, die Aufgaben zu lösen und dann direkt danach wieder alles zu vergessen, deswegen bin ich etwas unsicher.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Zitat:
Original von Mystic
[...] wobei ein Integritätsring ist...


Aber ist doch ein in maximales Ideal, womit ein Körper sein sollte.

Ja, wenn P sogar maximal ist, stimmt das so, aber ich wollte auch auf die fehlenden Klammern in (R/P)[X] hinweisen...

@Merlinius

Mir würde besser gefallen, wenn du den Epimorphismus mit betrachtest und darauf dann den Homomorphiesatz anwendest...

Und: ist kein Körper, weil X offensichtlich nicht invertierbar ist... Dein Argument hier habe ich nicht verstanden...
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis, jetzt hab ich's auch per Homomorphiesatz hingekriegt smile

Achja, noch eine Frage: Wo geht in den Beweis ein, dass R kein Körper ist (s. Hinweis in der Aufgabenstellung)?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlinius
Achja, noch eine Frage: Wo geht in den Beweis ein, dass R kein Körper ist (s. Hinweis in der Aufgabenstellung)?

Sehe ich jetzt nicht, dass das irgendwo eingeht... Es ist nur so, dass im Falle, dass R ein Körper ist, die Behauptung trivial (bzw. auch unsinnig in Hinblick auf die Definition von P[X]) ist... Was sind nämlich die maximalen Ideale in einem Körper?
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