Bogenlänge der Funktion x^x berechnen

29.11.2006, 13:13

sonnenblümchen

Bogenlänge der Funktion x^x berechnen

Hi,

wir sollen die Bogenlänge der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{x} \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] berechnen.

Das Integral müsste folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\sqrt{1 + ((ln x + 1) * x^{x})^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$

Irgendwie weiß ich jetzt net so recht, wie ich dem Integral zu leibe rücken soll, ich hab schon in einer Tabelle nachgeschaut und dort ne Lösung für die allgemeine Form $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sqrt{x^{2} + a^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$ gefunden, bin mir aber net sicher, ob sich das Integral so einfach erschlagen lässt...

Wäre für Hilfe/Tips/Lösungsansätze dankbar :-)

29.11.2006, 13:15

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Ich bin mir zu, na sagen wir mal 99% sicher, dass es hier keine geschlossene Darstellung der Stammfunktion gibt. Das wirst du also numerisch integrieren müssen.

29.11.2006, 14:38

sonnenblümchen

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Danke für die Hilfe.

Ich dachte, es gäbe da auch ne Stammfunktion dazu, weil ich nämlich einen Genauigkeitsvergleich machen wollte, zwischen Integral berechnen und Berechnen mit der Gauß´schen Quadraturformel....

29.11.2006, 14:47

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Wenn du einen Vergleichswert brauchst, auf 10 Stellen nach dem Komma genau:

1.2474266918 Wink

29.11.2006, 14:58

sonnenblümchen

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Danke *gg*

Den Wert halt ich dann meinem Prof unter die Nase. Und wenn er fragt, wo ich den her hab, dann sag ich ihm, der ist von Arthur Dent und winke dazu noch ganz eifrig mit einem Handtuch. Oder ich sag einfach: 42... Big Laugh

Aber Scherz beiseite, es hat auch den Vorteil, daß ich das Integral net ins Programm hacken muss, dann werd ich vielleicht heut noch fertig mit allem smile

05.12.2006, 12:21

sonnenblümchen

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Hi, ich bins nochmal.

Da ja ln(0) nicht definiert ist, gibts da irgend einen Näherungswert mit dem man rechnen kann??

05.12.2006, 16:02

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Ich glaube bei wolfram mal gelesen zu haben, dass $\begin{eqnarray*} ln(0)=-\infty \end{eqnarray*}$ ist.

Schau mal selbst..

Edit: Ach, Arthur weiss es besser. Hammer

05.12.2006, 16:08

Leopold

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Sagen wir so:

$\begin{eqnarray*} \ln{x} \to - \infty \ \ \mbox{für} \ x \to 0 \, , \ x>0 \end{eqnarray*}$

05.12.2006, 16:47

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Zitat:

Original von sonnenblümchen
Da ja ln(0) nicht definiert ist, gibts da irgend einen Näherungswert mit dem man rechnen kann??

Ja, wenn du das Integral numerisch z.B. über die Trapezformel

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b ~ f(x) ~ \dd x \approx \frac{h}{2} \left[ f(a)+f(b) + 2 \sum\limits_{k=1}^{n-1} ~ f(a + kh) \right] \end{eqnarray*}$ mit Teilintervallbreite $\begin{eqnarray*} h=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$

berechnen willst, hast du an der Stelle $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ bei deiner Funktion wegen $\begin{eqnarray*} f(a)=\infty \end{eqnarray*}$ in der Tat ein Problem. Diese Trapezformel ist ja eigentlich auch nur für auf ganz $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen geeignet.

Ein "Workaround": Lass einfach den Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ in der Trapezformel weg, oder nimm stattdessen den nächsten Wert $\begin{eqnarray*} f(a+h) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Das klingt zwar sicherlich nicht besonders vertrauenserweckend, aber wenn du die Stützstellenanzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß genug wählst, kommt das trotzdem als Näherung hin. Teufel

28.12.2006, 15:26

sonnenblümchen

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Hi, ihr Lieben,

ich glaube, diese Funktion verfolgt mich bis in alle Ewigkeiten.
Hab im Eifer des Gefechtes ja ganz übersehen, daß $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{x} \end{eqnarray*}$ bei x = 0 gar nicht definiert ist *schäm*...
Sie ist deshalb an dieser Stelle nicht stetig und darum ja auch nicht differenzierbar bzw integrierbar. (Verbessert mich ruhig, falls ich irgendwo falsch liege; Abi ist schon ne Weile her und ich hatte nur Mathe-Untergrundkurs Big Laugh

).
Jedenfalls will mein Prof jetzt was von wegen Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{x} \end{eqnarray*}$ , mir ist nur nicht in Erinnerung, im Zusammenhang mit Grenzwerten mal was von Fallunterscheidung gehört zu haben. Oder ich habs vergessen/verdrängt...
Na ja, ich steh da jetzt leicht auf dem Schlauch, und wäre dankbar, wenn ihr mir da in irgendeiner Form weiterhelfen könntet...

28.12.2006, 15:33

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Klar ist $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ definiert. $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ oder etwa nicht? Du hast nur ein Problem bei der Ableitung, da $\begin{eqnarray*} ln(0) \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Edit: Danke Laz. Verdammt.

28.12.2006, 16:32

Lazarus

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Ach wie sehr hab ich diesen Thread geliebt.
Leider wurde erst gegen Ende das Thema $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ diskutiert. Vorher gings (auch nicht uninteressant) um $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Viel spass bei der Lektüre Augenzwinkern

28.12.2006, 17:50

sonnenblümchen

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Hm, dann ist mein Taschenrechner kaputt, der spuckt bei $\begin{eqnarray*} 0^{0} \end{eqnarray*}$ nen Error aus... verwirrt

Um das Ganze nochmal zusammenzufassen, ich hab das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\sqrt{1 + ((ln x + 1) * x^{x})^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$ , was ich numerisch folgendermaßen berechnen will:

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{9} * \sum_{j=0}^{N-1}~ \{5*f(e - h*\sqrt{\frac{3}{5}})+8*f(e) + 5*f(e + h*\sqrt{\frac{3}{5}})\} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} e = \alpha + (2j+1)*h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h = \frac{\beta - \alpha }{2*N} \end{eqnarray*}$

[ $\begin{eqnarray*} \alpha = 0, \beta = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1 + ((ln x + 1) * x^{x})^{2}} \end{eqnarray*}$ ]

Numerische Berechnung geht aber nicht, weil das Integral für 0 nicht definiert ist wegen $\begin{eqnarray*} ln(0) \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist, kann ich mir doch eigentlich die Grenzwertbetrachtung für $\begin{eqnarray*} x^x, x->0 \end{eqnarray*}$ sparen; ich müsste doch dann eigentlich für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (siehe oben) ne Grenzwertbetrachtung machen...

(Sorry, falls ich damit ein bissel nerve bzw. mich etwas sehr blöd anstelle unglücklich

)

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