Denkfehler beim Integrieren

23.02.2011, 08:39

chem1ker

Denkfehler beim Integrieren

Das zu berechnende integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0 ^\pi\! sin(\pi -4x) \, dx \end{eqnarray*}$

umformen in 2 Integrale:

$\begin{eqnarray*} \int_0 ^\pi\! sin(\pi) \, dx + \int_0 ^\pi\! sin(-4x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - cos \pi * [ cos4x ] + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = C_{1} + C_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 * [cos 4\pi - cos 0 ] + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1* [1-1] +C \end{eqnarray*}$ = C

Da habe ich mich definitiv vertan....

Hat das damit zu tun, das ein Pi schon ein Kreis ist ?

23.02.2011, 08:43

Mazze

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Du kannst nicht einfach

$\begin{eqnarray*} \sin(\pi - 4x) = \sin(\pi) + \sin(-4x) \end{eqnarray*}$

setzen. Das ist falsch, wie kommst Du darauf?

23.02.2011, 08:50

chem1ker

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Nunja, wir hatten das mal - Integrale zu vereinfachen, indem man sie zerteilt.

Geht dann aber anscheinend nur per Multiplikation. Habe mich gestern noch kurz mit einem Mathestudenten unterhalten und der meinte, ich könnte das so machen.

$\begin{eqnarray*} [-cos(\pi -4x)] = -cos(-3\pi )--cos(\pi ) = cos 3\pi + cos\pi \end{eqnarray*}$

-1 -1 = -2

23.02.2011, 08:57

Mazze

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Zitat:

Nunja, wir hatten das mal - Integrale zu vereinfachen, indem man sie zerteilt.

Was Du da ansprichst ist die Linearität von Integralen. Wenn Du zwei Funktionen f und g hast, dann ist

$\begin{eqnarray*} \int f + g dx = \int f dx + \int g dx \end{eqnarray*}$

Das was Du gemacht hast ist

$\begin{eqnarray*} \int f(g + h) dx = \int f(g) + f(h) dx \end{eqnarray*}$ für 3 Funktionen f,g,h und das ist falsch. (f = sin(x) , g = pi, h = -4x).

Zitat:

Geht dann aber anscheinend nur per Multiplikation.

Nein, nicht einmal Ansatzweise. Die Lösung des Mathestudenten kann ich gar nicht nachvollziehen.

Das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \sin(\pi - 4x) dx \end{eqnarray*}$

kann man eigentlich schon in der 12ten Klasse lösen. Welche Funktion abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} \sin(\pi - 4x) \end{eqnarray*}$ ?

23.02.2011, 09:02

chem1ker

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f= sin (x)

F = -cos (x)

$\begin{eqnarray*} \sin(\pi - 4x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -cos (\pi - 4x) * 4 \end{eqnarray*}$ äußere mal innere Ableitung

$\begin{eqnarray*} -4 cos (\pi - 4x) \end{eqnarray*}$

23.02.2011, 09:08

Mazze

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Also wenn ich

$\begin{eqnarray*} -4\cos(\pi - 4x) \end{eqnarray*}$

ableite, bekomme ich

$\begin{eqnarray*} 16\sin(\pi - 4x) \end{eqnarray*}$

und das ist nicht

$\begin{eqnarray*} \sin(\pi - 4x) \end{eqnarray*}$

Aber die Idee ist gut. Du musst nur den Vorfaktor ändern.

23.02.2011, 09:15

chem1ker

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klar, wieder einmal nicht aufgepasst.

Es handelt sich natürlich um 1/4 nicht um 4 als Vorfaktor!

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \cos(\pi - 4x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \cos(-3\pi) - (-\frac{1}{4} \cos(\pi)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} (-1) - (-\frac{1}{4} (-1)) \end{eqnarray*}$

dann komme ich aber wieder auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} - (\frac{1}{4} ) \end{eqnarray*}$ ???

23.02.2011, 09:29

Mazze

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Die Stammfunktion hast Du richtig bestimmt. Und das Integral hat den Wert 0, das ist richtig.

23.02.2011, 09:39

chem1ker

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Gut, dankeschön.

So eine Aufgabe finde ich unfair für eine Klausur, da das Ergebnis Null mich immer abschreckt...

Warum bin ich mit meinem zerteilten Integral dennoch auf das gleiche Ergebnis gekommen? Zufall?

23.02.2011, 09:45

Mazze

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Bei den zahlreichen Fehlern die Du da gemacht hast , ist es tatsächlich Zufall.

23.02.2011, 09:46

kurellajunior

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Einschub: Hilft es Dir für die Zukunft zu erkennen, dass Dein Sinus im Integral eine Periodizität von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ hat und damit

$\begin{eqnarray*} \int_0 ^\pi\! sin(\pi -4x) \, dx = \int_0 ^\pi\! sin(-4x) \, dx = \int_0 ^\pi\! sin(4x) \, dx= \int_0 ^{4\pi}\! sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Falls nein, bitte Einschub ignorieren.

23.02.2011, 10:01

chem1ker

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Zitat:

Original von Mazze
Bei den zahlreichen Fehlern die Du da gemacht hast , ist es tatsächlich Zufall.

Ich sollte gewissenhafter arbeiten.

Zitat:

Original von kurellajunior
Einschub: Hilft es Dir für die Zukunft zu erkennen, dass Dein Sinus im Integral eine Periodizität von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ hat und damit

$\begin{eqnarray*} \int_0 ^\pi\! sin(\pi -4x) \, dx = \int_0 ^\pi\! sin(-4x) \, dx = \int_0 ^\pi\! sin(4x) \, dx= \int_0 ^{4\pi}\! sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Falls nein, bitte Einschub ignorieren.

Doch, der Einschub ist sehr gut, ich hatte auch daran gedacht, war mir nur nicht sicher, ob ich das direkt so anwenden kann. Wegen der Subtraktion.

23.02.2011, 10:06

kurellajunior

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Zitat:

Original von chem1ker
Doch, der Einschub ist sehr gut, ich hatte auch daran gedacht, war mir nur nicht sicher, ob ich das direkt so anwenden kann. Wegen der Subtraktion.

Funktioniert nur, weil die Funktion vor der Verschiebung um $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nach links auf ein Viertel gestaucht wird. Dadurch wird auch die Periode von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ geviertelt auf $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ und nur deshalb ist die Verschiebung um $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ Deckungsgleich.

Das Vorzeichen kann gewechselt werden, weil ein Vielfaches der Periode abgedeckt wird (sonst get das beim Sinus nicht!)

Und das herausholen des Faktors ist nur des Verständnisses wegen!

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