Rechnungen mit der Cosinus-Funktion

23.02.2011, 12:13

chem1ker

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Rechnungen mit der Cosinus-Funktion

$\begin{eqnarray*} d=f(Sigma)=3cos^{2}(Sigma)-1 \end{eqnarray*}$

Sigma = x zum "Erleichtern"

$\begin{eqnarray*} f(x)=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bestimmen SIe den maximalen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ sowei den Wertebereich $\begin{eqnarray*} W_{f} \end{eqnarray*}$ .

Zeichnung gemacht.
cos (x) = bekannt
cos² (x) = wie cos (x) nur alles im positiven y-Bereich
3cos² (x)= Streckung an y-Achse bis +3
3cos² (x) - 1 = Verschiebung des Graphen um y -1 nach unten

$\begin{eqnarray*} D_{f} = R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W_{f} = [-1 , 2] \end{eqnarray*}$

Zitat:

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$

--> 1. Ableitung

$\begin{eqnarray*} \int\! 3cos^{2}(x)-1 \, dx \end{eqnarray*}$

ist das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} \int\! 3cos(x^{2})-1 \, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

NR:
$\begin{eqnarray*} \int\! cos(x) \, dx = sin x + C \end{eqnarray*}$

das ist dann:

$\begin{eqnarray*} 3 * \frac{1}{2} sin x^{2} - x + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} sin x^{2} - x + C \end{eqnarray*}$

Zitat:

Schränken Sie $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ geeignet ein. Bestimmen Sie dann die inverse Funktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} (d) \end{eqnarray*}$

Tja, schränke ich jetzt bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ oder bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ein?

Denke zweiteres ist sinvoller oder?

Die inverse Funktion von cos (x) ist ja arccos (x)

Ist dann die inverse Funktion von

$\begin{eqnarray*} f(x)=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=3arccos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$ - DAS wäre zu einfach...

für einen direkten Nachweis müsste ich
$\begin{eqnarray*} y=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$
nach x umstellen.

Zitat:

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dd} f^{-1} \end{eqnarray*}$ . Hinweis: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} arccos x = \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}$

dazu später

23.02.2011, 12:55

klarsoweit

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RE: Rechnungen mit der Cosinus-Funktion

Zitat:

Original von chem1ker

Zitat:

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$

--> 1. Ableitung

$\begin{eqnarray*} \int\! 3cos^{2}(x)-1 \, dx \end{eqnarray*}$

ist das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} \int\! 3cos(x^{2})-1 \, dx \end{eqnarray*}$

Warum machst du ein Integralzeichen davor? verwirrt

verwirrt

Im übrigen ist cos(x²) nicht das gleiche wie cos²(x).

23.02.2011, 13:03

chem1ker

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Das ist mir - ähm - "reingerutscht" ^^

gut, das ist nicht das gleiche.
Ich war mir da nicht so sicher, bei irgendeiner ähnlichen Funktion konnte man das "Hoch 2" hüpfen lassen.

Wenn das nicht so geht, dann ist demnach auch meine erste Ableitung falsch.
Wie handhabe ich das mit cos² ?

23.02.2011, 13:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von chem1ker
Wenn das nicht so geht, dann ist demnach auch meine erste Ableitung falsch.

Bislang kann ich nicht erkennen, was deine 1. Ableitung sein soll.

Zitat:

Original von chem1ker
Wie handhabe ich das mit cos² ?

Das Stichwort lautet: Kettenregel
Dazu mußt du erstmal lokaliseren, was die äußere und was die innere Funktion ist.

23.02.2011, 13:24

chem1ker

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und wieder einmal nicht nachgedacht...
Ich sollte mal ne Pause machen....

Ich hab statt der 1. Ableitung mich an der Stammfunktion versucht...

$\begin{eqnarray*} f(x)=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$

f(x) = cos (x)
f'(x) = -sin (x)

Zitat:

Original von klarsoweit
Das Stichwort lautet: Kettenregel
Dazu mußt du erstmal lokaliseren, was die äußere und was die innere Funktion ist.

Tja...
Die äußere Funktion hat denke ich was mit dem cos² zu tun und das x ist dann die innere Funktion?

23.02.2011, 13:48

klarsoweit

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Das x ist das Argument. Welche Funktion wird denn auf das x als erstes angewendet? Das ist die innere Funktion. Was kommt als nächstes? Das ist die äußere Funktion.

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23.02.2011, 14:25

chem1ker

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nuja, theoretisch kann es ja auch

cos²(3x) - 1 heißen, oder?

Dann wäre 3x die innere Funktion.
und cos² die äußere.

cos²x = -2cosx sinx ( google hilft )

habe ich dann -2 cos (3x) sin (3x) * 3 ?

also -6 cos (3x) sin (3x)

DAS muss man einfach wissen oder wie?

23.02.2011, 14:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von chem1ker
Dann wäre 3x die innere Funktion.
und cos² die äußere.

Richtig.

Zitat:

Original von chem1ker
DAS muss man einfach wissen oder wie?

Nein, man muß die Kettenregel können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.02.2011, 14:45

chem1ker

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Die Kettenregel habe ich ja dann demnach erfolgreich gemeistert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich formuliere meine Frage noch einmal um:

Zitat:

f (x) = cos² (x)
f'(x) = -2cosx sinx

Zitat:

Original von chem1ker

DAS muss man einfach wissen oder wie?

Augenzwinkern

oder wie kann ich mir das als mehr oder weniger Laie herleiten?

23.02.2011, 14:46

klarsoweit

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Wie gesagt: Kettenregel.

23.02.2011, 15:04

chem1ker

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nagut, dann muss ich noch mal schauen, ob ich mir dazu weitere Informationen aneignen kann.

hmm....

cos²(x) ---> 2 runter ---> 2cos^1 (x)
cos abgeleitet = - sinus

---------------------------------

2cos(x) * (-sin (x) ) --->
-2cos(x) sin (x)

so ?

Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} f' (x) = -6 cos (3x) sin (3x) \end{eqnarray*}$

guuut

Jetzt hierzu

Zitat:

Original von mir ganz da oben

Zitat:

Schränken Sie $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ geeignet ein. Bestimmen Sie dann die inverse Funktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} (d) \end{eqnarray*}$

Tja, schränke ich jetzt bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ oder bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ein?

Denke zweiteres ist sinvoller oder?

Die inverse Funktion von cos (x) ist ja arccos (x)

Ist dann die inverse Funktion von

$\begin{eqnarray*} f(x)=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=3arccos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$ - DAS wäre zu einfach...

für einen direkten Nachweis müsste ich
$\begin{eqnarray*} y=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$
nach x umstellen.

Zweiteres kam mir sinnvoller vor, da ab $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ eine Spiegelung der Funktion von 0 bi $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ an der y-Achse ist.

meine Idee der inversen Funktion ist aber zu naiv gedacht oder?

23.02.2011, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von chem1ker
2cos(x) * (-sin (x) ) --->
-2cos(x) sin (x)

so ?

Richtig.

Zitat:

Original von chem1ker
Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} f' (x) = -6 cos (3x) sin (3x) \end{eqnarray*}$

Woher kommen die 3x ?

Zitat:

Original von chem1ker
Tja, schränke ich jetzt bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ oder bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ein?

Überlege, wo cos²(x) ein Minimum bzw. ein Maximum erreicht. Prinzipiell ist der von dir angegebene Bereich möglich. Üblicherweise gibt man aber die untere Grenze zuerst an.

23.02.2011, 15:24

chem1ker

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Meine Ausgangsgleichung war:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$
und da habe ich dann

$\begin{eqnarray*} f(x)=cos^{2}(3x)-1 \end{eqnarray*}$ daraus gemacht. Falsch?

Max: (0 , 2)
Min: ( $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ , -1 )

deswegen $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ = [0 , $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ] ?

Okay, es ist falsch, da ich ja sonst wieder die 3 rausholen könnte und das Ergebnis damit immer größer wird.

es ist also
$\begin{eqnarray*} f' (x) = -6 cos (x) sin (x) \end{eqnarray*}$

aber ich dachte immer man kann:

$\begin{eqnarray*} cos (3x) = 3cos(x) \end{eqnarray*}$ schreiben.
geht das hier nicht, wegen dem " - 1" ?

23.02.2011, 15:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von chem1ker
aber ich dachte immer man kann:

$\begin{eqnarray*} cos (3x) = 3cos(x) \end{eqnarray*}$ schreiben.
geht das hier nicht, wegen dem " - 1" ?

Das geht generell nicht. Nach welcher mathematischer Regel sollte das funktionieren?
Ich habe Angst vor Chemikern, die mathematischen Regel nach Gutdünken erfinden. smile

smile

Zitat:

Original von chem1ker
deswegen $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ = [0 , $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ] ?
es ist also
$\begin{eqnarray*} f' (x) = -6 cos (x) sin (x) \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von chem1ker
deswegen $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ = [0 , $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ] ?

Ja, wobei man noch die Monotonie der Funktion auf diesem Intervall ausnützt.

23.02.2011, 15:59

chem1ker

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das geht generell nicht. Nach welcher mathematischer Regel sollte das funktionieren?
Ich habe Angst vor Chemikern, die mathematischen Regel nach Gutdünken erfinden. smile

smile

Hmm, ich dachte, ich hätte das mal so gelesen...
Noch ist nichts (ungewollt) in die Luft geflogen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, wobei man noch die Monotonie der Funktion auf diesem Intervall ausnützt.

Wo und wie nutze ich das aus?

Ist meine inverse Funktion so eig. richtig?

23.02.2011, 16:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chem1ker

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, wobei man noch die Monotonie der Funktion auf diesem Intervall ausnützt.

Wo und wie nutze ich das aus?

Eine streng monotone Funktion ist eben invertierbar.

Zitat:

Original von chem1ker
Ist meine inverse Funktion so eig. richtig?

Ich habe keine bzw. richtige inverse Funktion gesehen.

23.02.2011, 16:12

chem1ker

Auf diesen Beitrag antworten »

nunja ich hatte mal eine inverse Funktion reingepackt, die war dann aber anscheinend falsch.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=3arccos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$ - DAS wäre zu einfach...

für einen direkten Nachweis müsste ich
$\begin{eqnarray*} y=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$
nach x umstellen.

Da weiß ich jedoch nicht, wie ich x aus cos²(x) herausbekomme

24.02.2011, 08:34

klarsoweit

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Stelle erstmal so um, daß nur cos²(x) auf einer Seite steht.

24.02.2011, 09:32

chem1ker

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$

das cos² ist ja im Prinzip nur ein Quadrat, was man per Wurzel entfernen kann oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{1}{3}} = cos(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt noch den Cosinus rüber...

ist das dann der arccos?

24.02.2011, 10:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von chem1ker
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist schon falsch. Wo ist denn das y geblieben?

24.02.2011, 12:31

chem1ker

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Löslichkeit von Y im Latex war zu groß...

$\begin{eqnarray*} y=3cos^{2}(x)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y + 1 = 3cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y+1}{3} = cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{y+1}{3} } = cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arccos \sqrt{\frac{y+1}{3} } = x \end{eqnarray*}$

so...

24.02.2011, 12:36

klarsoweit

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OK. Man muß natürlich aufpassen, daß man bei den Umformungen im richtigen Wertebereich bleibt. In diesem Fall paßt das, aber es könnte auch $\begin{eqnarray*} - \sqrt{\frac{y+1}{3} } = cos(x) \end{eqnarray*}$ sein.

24.02.2011, 14:03

chem1ker

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Ja, genau.

und nun muss ich davon wiederum die Ableitung bilden.

Zitat:

Hinweis
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} arccosx = \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}$

Theoretisch habe ich da doch eine Produktregel
$\begin{eqnarray*} u = arccos \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{\frac{y+1}{3} } \end{eqnarray*}$

und eine Kettenregel mit der Wurzel.

Wie vereine ich die am besten?

24.02.2011, 15:02

klarsoweit

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Einfach stur nach der Regel vorgehen.

24.02.2011, 15:18

chem1ker

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Einfach stur per Regel verfolgen verstehe ich nicht ganz...

$\begin{eqnarray*} (arccos \sqrt{\frac{y+1}{3} } )' = \frac{-1}{\sqrt{1-( \sqrt{\frac{y+1}{3} })^{2}} } \end{eqnarray*}$

jetzt fehlt noch die Kettenregel: u'v + uv' - also die Ableitung der Wurzel oder nicht?

24.02.2011, 15:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von chem1ker
jetzt fehlt noch die Kettenregel: u'v + uv'

Das ist nicht die Kettenregel - und ja, jetzt fehlt noch die Ableitung der Wurzel.

24.02.2011, 15:49

chem1ker

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Kettenregel mit Produktregel verwchslet...

Ich meinte natürlich die Kettenregel = Ableitung der Wurzel

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{y+1}{3} } = \sqrt{\frac{y}{3}+ \frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{y+1}{3} })' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{3} } } * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

hänge ich die jetzt einfach per Multiplikation aneinander?

24.02.2011, 15:56

klarsoweit

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Genau.

24.02.2011, 16:12

chemiker

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$\begin{eqnarray*} (arccos \sqrt{\frac{y+1}{3} } )' = \frac{-1}{\sqrt{1-( \sqrt{\frac{y+1}{3} })^{2}} } * \frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{3} } } * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{6\sqrt{1-\frac{y+1}{3} }\sqrt{\frac{y+1}{3} } } \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich doch irgendwie die wurzeln vereinfachen können....

ist das dann theoretisch:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{6(\sqrt{\frac{y+1}{3}} - \frac{y+1}{3} ) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{(6\sqrt{\frac{y+1}{3}} - 6 *\frac{y+1}{3} ) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{3}{(6\sqrt{\frac{y+1}{3}} - 6(y+1) } \end{eqnarray*}$

oder habe ich mich wieder irgendwo reingesteigert?

25.02.2011, 08:38

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chemiker
ist das dann theoretisch:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{6(\sqrt{\frac{y+1}{3}} - \frac{y+1}{3} ) } \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist was schief gelaufen. Die Regel lautet:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a-b} \cdot \sqrt c = \sqrt{ac - bc} \end{eqnarray*}$

25.02.2011, 09:16

chem1ker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das dachte ich mir, dass das nicht ganz koscher ist....

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{6\sqrt{\sqrt{\frac{y+1}{3} }- \frac{y+1}{3} \sqrt{\frac{y+1}{3} } } } \end{eqnarray*}$

so sieht es dann aus....

das MUSS doch aber noch zu vereinfachen sein...

irgendwie $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{y+1}{3}} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

25.02.2011, 09:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von chem1ker
$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{6\sqrt{\sqrt{\frac{y+1}{3} }- \frac{y+1}{3} \sqrt{\frac{y+1}{3} } } } \end{eqnarray*}$

so sieht es dann aus....

Ich weiß nicht, wie du die Regel angewendet hast, aber das kann nicht dabei rauskommen. Da bleibt am Ende eine Wurzel.

25.02.2011, 10:10

chem1ker

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich weiß nicht, wie du die Regel angewendet hast, aber das kann nicht dabei rauskommen. Da bleibt am Ende eine Wurzel.

Wieder einmal nicht aufgepasst....

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{6 \sqrt{\frac{y+1}{3} - \frac{(y+1)^{2} }{9} } } \end{eqnarray*}$

Subtrahieren geht nicht....
Binomische Formel auflösen?
vorderen Bruch erweitern?

25.02.2011, 10:17

klarsoweit

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Ja, wenn du möchtest. Aber zwingend nötig ist das nicht.

25.02.2011, 10:29

chem1ker

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also ist im Prinzip hier Feierabend?

25.02.2011, 12:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, es sei denn die Aufgabe verlangt noch etwas spezielles.

25.02.2011, 13:45

chem1ker

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das wäre es dann gewesen.

Dankeschön für die Hilfe smile

smile

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