Poisson'scher Grenzwertsatz

23.02.2011, 13:25	no0bba	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson'scher Grenzwertsatz Hallo zusammen, Nach dem Possion'schen Grenzwertsatz gilt für eine Folge von Binomialverteilungen $\begin{eqnarray} (B,p_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \cdot p_n=\lambda \end{eqnarray}$ die Annäherung an die Possion- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ -Verteilung in dem Sinne: Für die Zähldichte $\begin{eqnarray} ({q_0}^n,{q_1}^n,{q_2}^n, \dots ,{q_n}^n) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} {q_k}^n \rightarrow e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty , 0 \le k \le n \end{eqnarray}$ . Gilt dann auch $\begin{eqnarray} B(n,p_n) \xrightarrow{\text{w}} \pi(\lambda) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ , d.h. die Verteilungskonvergenz der $\begin{eqnarray} B(n,p_n) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \pi(\lambda) \end{eqnarray}$ ? Beweisen Sie ihre Aussage. Ich würde so vorgehen : $\begin{eqnarray} {q_k}^n=P(X_n=k)=\binom n k p^k(1-p)^n-k \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Zufallsgröße mit $\begin{eqnarray} X \sim \pi(\lambda) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ Folge von ZG mit $\begin{eqnarray} X_n \sim B(n,p_n) \end{eqnarray}$ , so $\begin{eqnarray} {q_k}^n \rightarrow e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray}$ bedeutet dies , dass $\begin{eqnarray} X_n \xrightarrow{\text{ L}} X \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} X_n \xrightarrow{\text{L}} X \Leftrightarrow P_{X_n}\xrightarrow{\text{w}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_{X_n} \end{eqnarray}$ Verteilungen von $\begin{eqnarray} X_n \sim \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(n,p_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_X \end{eqnarray}$ Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gilt somit auch $\begin{eqnarray} B(n,p_n) \xrightarrow{\text{w}} \pi(\lambda) \end{eqnarray}$ Kann man das so beweisen? Vielen Dank.
26.02.2011, 13:50	no0bba	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poisson'scher Grenzwertsatz Kann mir niemand was dazu sagen? Ich bin mir hierbei unsicher. $\begin{eqnarray} {q_k}^n \rightarrow e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray}$ bedeutet dies , dass $\begin{eqnarray} X_n \xrightarrow{\text{ L}} X \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \xrightarrow{\text{ L}} \end{eqnarray}$ das soll übrigens " konvergiert in Verteilung" bedeuten

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