Definition Varianz |
| 23.02.2011, 13:30 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Definition Varianz Hallo zusammen, Ich habe mich gerade gefragt, warum es Sinnvoll ist sich die Varianz zu betrachten (mittlere quadratische Abweichung) und nicht die betragsmäßige Abweichung E[|X - E[X]|]. Für letzteres bräuchte man ja auch nur die Existenz des ersten Moments. Hat das einfach nur ästetische Gründe oder steckt dahinter ein wirklich tiefer Sinn? Meine Ideen: Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Schöne Grüße Zündholz |
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| 23.02.2011, 15:55 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition Varianz ein Beispiel: ein LGS A*x=b ist überbestimmt z.B. durch Messungen. Sei x~ ein "Lösungsvektor" , dann gilt: A*x~ = b~ . Es entsteht der Fehlervektor b-b~ = r. Der soll möglichst klein sein!. Und was macht man? Man minimiert seinen Betrag ( klingt logisch ), was aber zurfolge hat, dass man auch die Summe der Komponentenquadrate (!) minimiert. Es hat sich eben gezeigt, dass größere Abweichungen stärker als linear zu berücksichtigen sind. Soviel dazu meinerseits. |
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| 23.02.2011, 17:51 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition Varianz Man könnte aber auch die Summe über die Komponentenbeträge also 1 - Norm des Vektors minimieren? Also ist das Ganze eher so ne Sache von der Bauart, "Es hat sich als gut erwiesen", oder steckt dahinter noch ein mathematisch plausibler Grund? P.S. ich meinte oben die Standardabweichung nicht Varianz. |
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| 23.02.2011, 18:10 | Trägheit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition Varianz Erwartungswert und Varianz haben in der Physik eine Entsprechung nämlich Schwerpunkt und (axiales) Trägheitsmoment (gilt exakt nur für stetige Verteilungen) Hier liegt auch noch einer der Gründe |
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| 23.02.2011, 19:56 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein weiteres Argument ist, dass es sich mit den quadratischen Ausdrücken deutlich einfacher Rechnen lässt als mit Beträgen. |
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| 23.02.2011, 19:59 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition Varianz a.)Die Varianz einer Zufallsgröße wird als E( (E(X)-X)^2) definiert! Damit lässt sich z.B. bei der Binomialverteilung V(X) leicht zu n*p*(1-p) berechnen. Versuch das mal bei E(ABS(E(X)-X)). b.)bei minimierung von Fehlersummen, könnte man natürlich auch anderst verfahren, solange man rein numerische Auswertungen vornimmt. Man könnte x~ (numerisch) so bestimmen, dass Summe(ABS(r_i)) minimal wird. Im anderen Fall gibts zur Belohnung aber eine exakte Formel: Löse das exakte LGS A^t*A*x=A^t*b mit A^t als Transponierte von A. Bei Regressionskurven kann man Normalengleichungen (partielle Ableitungen) aufstellen und ein LGS lösen. Ich kann nur feststellen, dass die Konvention mathematisch angenehm, und auch in der Wirklichkeit nicht schlechter als Andere abschneidet. Und noch ein Argument: das mach man schon seit Gauß so 
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| 23.02.2011, 23:02 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Definition Varianz
Na wenn das so ist, dann darf ich ja gar nichts mehr dagegen sagen 
Das meinte ich mit ästetischen Gründen. Also an sich ist es egal und es steckt bis auf das etwas angenehmere Rechnen nicht mehr dahinter? Letztlich dann doch etwas verwunderlich, da, wenn man die Existenz des Erwartungswertes vorraussetzt, sich die "Betragsmäßige Abweichung" auch immer bestimmen lässt. |
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| 23.02.2011, 23:05 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Definition Varianz Bzw. schonmal existiert. Also "existentiell" gesehen besser. |
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| 24.02.2011, 00:12 | dinzeoooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Definition Varianz
dieses "etwas angenehmere rechnen" ist nicht nur etwas
. das entscheidene argument hat black gegeben. mit der betragsfunktion wäre vieles sehr schwierig bis vll garnicht zu bestimmen. der grund dieses quadrierens und danach wieder die wurzel davon ziehen, liegt alleine darin der betragsfunktion aus dem weg zu gehen... vll nochmal 2 dinge zur erinnerung: der erwartungswert bzw. die varianz ist im allgemeinen ein integral. die betragsfunktion ist nicht differenzierbar..... gruss... |
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| 24.02.2011, 03:33 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja klar black hat recht, das wollte ich mit meiner längeren Ausführung auch klarmachen, wobei mein Augenmerk auf der diskreten Seite lag. Bis ich's dann vollends geschrieben hatte, war black unbemerkt 3 min "schneller"
Und bei der stetigen Seite ist der Hinweis von dinzeoooo w.g. Integralen und Nicht-Diff'barkeit bei Betrags-Fkts für mich überzeugend. |
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| 24.02.2011, 05:55 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist auf jeden Fall ein gutes Argument. Bin nun auch davon überzeugt 
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