Rekursive Folgen

23.02.2011, 15:00	-RE-	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folgen kann mir vllt jemand bei dieser Aufgabe hier helfen: a_n ist rekursiv definiert a_(n+1)=sqrt(1+a_n) und a_0 = 0 ZZ a) 0<=a_n <=3 ZZ b) a_n+1=> a_n lann mir wer helfen=??
23.02.2011, 15:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folgen Teil a läßt sich leicht mit vollständiger Induktion zeigen. Wobei 0 <= a_n sowieso klar ist.
23.02.2011, 15:06	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Der 2.te Teil lässt sich auch mit vollständiger Induktion zeigen. Ibn Batuta
24.02.2011, 11:34	-RE-	Auf diesen Beitrag antworten »
gut das bei b) hab ich soweit... aber bei a_n <= 3 hab ich überhaupt keinen ansatz... mfg -RE-
24.02.2011, 12:02	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeig doch mal deine Induktion bei a). Dann können wir dir weiterhelfen. Ibn Batuta
24.02.2011, 12:11	-RE-	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist ja das problem ... ich hab da überhaupt keinen ansatz MFG -RE-
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24.02.2011, 12:26	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ind. Anfang: $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ : Es ist $\begin{eqnarray} 0\le a_0=0\le 3 \end{eqnarray}$ Ind. Vorauss.: Die Behauptung gelte für ein fixes $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Ind. Schritt: $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 0\le a_{n}\le 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\le a_{n}+1\le 4 \end{eqnarray}$ Und jetzt kannst du weitermachen. Ibn Batuta
24.02.2011, 12:42	-RE-	Auf diesen Beitrag antworten »
[...] 1<=a_n+1<=4 sqrt(1) <= sqrt(a_n+1) <= sqrt(4) 1 <= a_(n+1) <= 2 dadurch zeigt man ja das jedes nachfolgende glied kleiner/gleich 2 ist und somt a_(n+1) immer kleiner gleich 3 sein muss. Psst das so?
24.02.2011, 12:53	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Die linke Seite der Ungleichung ist damit auch geklärt, da $\begin{eqnarray} 1> 0 \end{eqnarray}$ ist. Ibn Batuta
24.02.2011, 13:14	-RE-	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt noch ne frage zu b): wäre das so richtig? i.A.: 1 <= sqrt(2) i.V.: a_(n) <= a_(n+1) i.S.: n=n+1 a_(n+1) <= a_(n+2) a_(n+1) <= sqrt(1+a_(n+1) sqrt(1+a_n) <= sqrt(1+sqrt(1+a_n)) // ()² 1+a_n <= 1+ sqrt(1+a_n) //-1 a_n <= sqrt(1+a_n) a_n <= a_(n+1)
24.02.2011, 13:25	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Induktionsanfang ist falsch. So ist es richtig: $\begin{eqnarray} a_0=0\le 1=a_1 \end{eqnarray}$ Dein Induktionsschritt lautet nicht $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} n+1\to n \end{eqnarray}$ . Ansonsten sieht das, bis auf mangelhafte Klammersetzungen, gut aus. Ibn Batuta

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