Konvergenz einer unendlichen Reihe

23.02.2011, 15:10

Chrax

Konvergenz einer unendlichen Reihe

Meine Frage:
Ich möchte untersuchen, ob die unendliche Reihe konvergiert.
$\begin{eqnarray*} s = \sum\limits_{n=1}^\infty{\left(\left[1+\frac{1}{n} \right]^n-2\right)^n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \left(\left[1+\frac{1}{n} \right]^n-2\right)^n \end{eqnarray*}$

Der
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(\left[1+\frac{1}{n} \right]^n-2\right)^n = 0 \end{eqnarray*}$

Doch was soll ich nun machen?

23.02.2011, 15:12

Ibn Batuta

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Äh, edit: Da hätte natürlich Konvergenz stehen müssen! Sorry für die Verwirrung. smile

Wurzelkriterium sollte helfen, um die Konvergenz zu zeigen.

Ibn Batuta

23.02.2011, 15:20

René Gruber

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Wurzelkriterium sollte helfen, um die

... Konvergenz zu zeigen.

Schließlich ist $\begin{eqnarray*} 0 < e-2 < 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

23.02.2011, 15:22

Chrax

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Ich weiss leider nicht, wie ich das Wurzelkriterium hier anwenden soll.

$\begin{eqnarray*} x_{k} = \left(\left[1+\frac{1}{k} \right]^k-2\right)^k \end{eqnarray*}$

Nun den Betrag dieses Terms in die k-te Wurzel setzen und schauen, ob es größer oder kleiner 1 ist.

Doch wie?

23.02.2011, 15:23

Ibn Batuta

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Mach es doch mal einfach. Das funktioniert prima.

Ibn Batuta

23.02.2011, 15:35

Chrax

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Ich versuche das im Rechner so zu rechnen und bekomme ständig mit meinem Voyage 200 einen Domain Error x.x

Hab es so drinstehen :

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}{\sqrt[k]{|\left(\left[1+\frac{1}{k} \right]^k-2\right)^k|}} \end{eqnarray*}$

Und nur Domain Errors. Kann ich das auchanders machen?

23.02.2011, 15:41

René Gruber

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Ist es nun komisch oder doch eher zum Heulen, wofür manche so nach dem Taschenrechner greifen? verwirrt

Für positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{a^k} = a \end{eqnarray*}$ .

23.02.2011, 15:46

Chrax

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Simmt >.<
Wenn man erstmal seinen Kopf einschalten würde, du hast Recht unglücklich

Also ist der Grenzwert 0 . (edit falsch! Grenzwert beträgt e-2)
Das sagt mir, dass das Wurzelkriterium soweit erfüllt ist, dass e-2 < 1 und somit die Unendliche Reihe absolut konvergent ist.
ist das soweit korrekt?

LG und Vielen Dank.

EDIT: Der Grenzwert ist e-2, was jedoch mit ca. 0,72 auch kleiner als 1 ist und somit die Reihe trotzdem absolut konvergent ist (:

23.02.2011, 16:16

René Gruber

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Zitat:

Original von Chrax
Das sagt mir, dass das Wurzelkriterium soweit erfüllt ist, dass e-2 < 1 und somit die Unendliche Reihe absolut konvergent ist.

Ja.

23.02.2011, 16:41

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von René Gruber
Ist es nun komisch oder doch eher zum Heulen, wofür manche so nach dem Taschenrechner greifen? verwirrt

Zum Heulen.

Ibn Batuta

23.02.2011, 16:43

Chrax

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

Zitat:

Original von René Gruber
Ist es nun komisch oder doch eher zum Heulen, wofür manche so nach dem Taschenrechner greifen? verwirrt

Zum Heulen.

Ibn Batuta

Leider x.x
Manchmal ists echt offensichtlich.

Aber naja - Theres no patch for Human stupidity Big Laugh

24.02.2011, 09:26

Mystic

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Zitat:

Original von René Gruber
Ist es nun komisch oder doch eher zum Heulen, wofür manche so nach dem Taschenrechner greifen? verwirrt

Für positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{a^k} = a \end{eqnarray*}$ .

Der Gültigkeitsbereich dieses fundamentalen Satzes läßt sich sogar noch auf nichtnegative Zahlen a verallgemeinern... Augenzwinkern

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