Isomorphie zeigen

23.02.2011, 15:29

hnky

Isomorphie zeigen

hallo,

ich möchte folgende aufgabe lösen:

Zitat:

Es sei V ein K-VR und U,W Untervektorräume von V mit $\begin{eqnarray*} V=U\oplus W \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} V / U \simeq W \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich möchte das ganze mit dem homomorphiesatz beweisen.

Ich definiere mir dazu $\begin{eqnarray*} \phi: V->W, v-> \phi(v) \end{eqnarray*}$ .

für den homomorphiesatz müsste ich jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U=Kern(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ ist, wobei letzteres schon klar ist nach der definition von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

jetzt habe ich aber auch noch angegeben, dass $\begin{eqnarray*} V=U\oplus W \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} V=U\oplus Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ .

bekanntlich gilt aber auch, dass $\begin{eqnarray*} V=Kern(\phi) \oplus Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ ist.

folgt hieraus bereits $\begin{eqnarray*} U=Kern(\phi) \end{eqnarray*}$ ?

wenn ja, wäre ich doch im prinzip schon fertig mit verweis auf den homomorphiesatz.

das kommt mir allerdings etwas zu einfach vor, sodass ich mir momentan nicht sicher bin, ob ich das ganze wirklich so machen kann.

kann mir jemand einen tipp geben?

danke schonmal im voraus.

23.02.2011, 15:33

kiste

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RE: Isomorphie zeigen

Zitat:

Original von hnky
Ich definiere mir dazu $\begin{eqnarray*} \phi: V->W, v-> \phi(v) \end{eqnarray*}$ .

Äh und wie hast du das konkret definiert? Das ist doch gerade der Knackpunkt, wenn du das konkret definierst kannst du auch Untersuchungen über den Kern/das Bild anstellen.

23.02.2011, 15:55

hnky

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danke für deine anmerkung, da hab ich es mir wohl etwas zu leicht gemacht smile

neuer versuch:

ich betrachte $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ als komposition zweier abbildungen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \phi=\psi \circ \pi \end{eqnarray*}$ , wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} \pi: V-> V/U, v-> v+U \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \psi: V/U -> W, v+U->\phi(v) \end{eqnarray*}$ .

da $\begin{eqnarray*} V= U \oplus W \end{eqnarray*}$ gilt, besitzt jedes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ eine darstellung als $\begin{eqnarray*} v=u+w \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} u \in U, w \in W \end{eqnarray*}$ .

dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(v)=\phi(u+w) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\psi(\pi(u+w)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\psi((u+w)+U) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\psi((u+U)+(w+U)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\psi(w+U) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =w \end{eqnarray*}$

um jetzt noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U=Kern(\phi) \end{eqnarray*}$ ist, betrachte ich $\begin{eqnarray*} \phi(u) \end{eqnarray*}$ .

es ist $\begin{eqnarray*} \phi(u)=\psi(\pi(u)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\psi(u+U)=\psi(0)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall u \in U \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} U=Kern(\phi) \end{eqnarray*}$ .

wäre das so in ordnung?

24.02.2011, 00:18

kiste

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Zitat:

Original von hnky
ich betrachte $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ als komposition zweier abbildungen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \phi=\psi \circ \pi \end{eqnarray*}$ , wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} \pi: V-> V/U, v-> v+U \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \psi: V/U -> W, v+U->\phi(v) \end{eqnarray*}$ .

Du definierst phi durch pi und psi, in der Definition von psi kommt aber phi vor?!

24.02.2011, 03:26

zweiundvierzig

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Zitat:

Der Witz ist, dass man von einer Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \colon V \to W \end{eqnarray*}$ ausgeht. Den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi = \psi \circ \pi \end{eqnarray*}$ kriegt man danach durch den Homomorphiesatz geschenkt.

Was ist denn "der naheliegendste" Homomorphismus $\begin{eqnarray*} U \oplus W \to W \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ als Bild besitzt?

24.02.2011, 09:38

hnky

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Zitat:

Du definierst phi durch pi und psi, in der Definition von psi kommt aber phi vor?!

stimmt, das macht wenig sinn.

Zitat:

Was ist denn "der naheliegendste" Homomorphismus $\begin{eqnarray*} U \oplus W \to W \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ als Bild besitzt?

Ich vermute, dass es $\begin{eqnarray*} U \oplus W \to W, u+w \to w \end{eqnarray*}$ ist.

24.02.2011, 11:13

kiste

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Stimmt, von der Abbildung kannst du jetzt ja den Kern und das Bild ausrechnen.

24.02.2011, 11:51

hnky

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dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(u+w)=0+w=w \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall u \in U, w \in W \end{eqnarray*}$ .

lässt sich daraus direkt schon folgern, dass $\begin{eqnarray*} Kern(\phi)=U \end{eqnarray*}$ gilt?

$\begin{eqnarray*} Bild(\phi)=W \end{eqnarray*}$ ist ja relativ offensichtlich.

24.02.2011, 11:53

kiste

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Für mich ist beides offensichtlich, wie genau du argumentieren musst solltest du wissen Augenzwinkern

24.02.2011, 11:54

hnky

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alles klar, dann bedanke ich mich für eure hilfe smile

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