vollständige Induktion mit zwei Variablen

23.02.2011, 15:30

Rocky88

vollständige Induktion mit zwei Variablen

Meine Frage:
Hallo, hab' mal 'ne Frage zu folgender Aufgabe:

g^{x+y}=g^{x}*g^{y}

Den Induktionsanfang habe ich hoffentlich richtig, aber meine Frage ist: was mache ich nun?

Meine Ideen:
Induktionsanfang:
x->0: linke Seite: g^{0+y}=g^{y};
rechte Seite: g^{0} *g^{y} = 1*g^{y} = g^{y};

Induktionsschritt:

23.02.2011, 16:07

Mystic

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen
Für den Schluss von x auf x+1 brauchst du eine Schlusskette von der Art

$\begin{eqnarray*} g^{(x+1)+y}=\dots=g^{x+1} g^y \end{eqnarray*}$

wobei dort, wo jetzt die Punkte (...) stehen, lauter richtige Gleichungen stehen sollen und du auch die Richtigkeit der Behauptung für x verwenden darst (ja sogar solltest!)...

23.02.2011, 16:50

Rocky88

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Induktionsschritt:
x-->x+1:
g^x+1+y = g^x*g^1*g^y = g^x+1+g^y

und nun?

23.02.2011, 17:30

Mystic

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Sorry, aber das sieht für mich so aus, als hättest du da eine Menge Klammern vergessen... unglücklich

Könntest du die vorher noch setzen, damit ich da besser durchblicke?

24.02.2011, 09:40

Rocky88

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen
also, ich fange nochmal von vorne an, und schreibe mal alle Definitionen auf:
Sei $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe.
Für $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in N0 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} g^{n} \end{eqnarray*}$ rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray*} g^{0}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{n+1}=g^{n}g \end{eqnarray*}$ .
Außerdem sei $\begin{eqnarray*} g^{-n}=(g^{n})^{-1} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{x+y}=g^{x}g^{y} \end{eqnarray*}$ .

Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} x->0. g^{0+1}=g^{1}=g=gg^{0} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} x -> x+1. g^{(x+1)+y} = g^{(1+x)+y} = g^{1}g^{(x+y)} = gg^{x+y}=gg^{x}g^{y}. \end{eqnarray*}$

Also, weiter als hier komme ich einfach nicht. Sind die Klammern ok?
Danke schonmal im Voraus.

24.02.2011, 09:55

Mystic

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen

Zitat:

Original von Rocky88
Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} x -> x+1. g^{(x+1)+y} = g^{(1+x)+y} = g^{1}g^{(x+y)} = gg^{x+y}=gg^{x}g^{y}. \end{eqnarray*}$

Ich würde das so schreiben:

$\begin{eqnarray*} x \rightarrow x+1 g^{(x+1)+y} = g^{x+(y+1)} = g^xg^{y+1} = g^xgg^y=g^{x+1}g^{y} \end{eqnarray*}$

24.02.2011, 13:16

Rocky88

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen
Danke Mystic. smile

Ist die Aussage damit bewiesen?

24.02.2011, 13:36

Mystic

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen
Naja, wenn du alle richtigen Sachen hier zusammenklaubst, also z.B. den Induktionsanfang von deinem allerersten Posting, dann schon... Warum zweifelst du? verwirrt

24.02.2011, 13:39

Rocky88

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen
weil da ja zwei Variablen sind, und ich mir nicht sicher bin, ob ich nun das gleiche analog zu y machen sollte..?
Oder nehme ich bei zwei Variablen eine Variable immer als Konstante?

24.02.2011, 14:00

Mystic

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen
Hm, über y wurde ja weder im Induktionsanfang, noch im Induktionsschritt irgendeine einschränkende Voraussetzung gemacht... Warum sollte man also da noch etwas beweisen wollen? verwirrt

24.02.2011, 16:08

Rocky88

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RE: vollständige Induktion mit zwei Variablen
Sowas darfst Du eine "Definitionslücke" nicht fragen... Big Laugh

Wenn Du meinst, dass es stimmt, dann ist gut.
Danke für alles... Freude

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vollständige Induktion mit zwei Variablen

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