Nullteilerfreiheit ist wesentlich

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullteilerfreiheit ist wesentlich
Meine Frage:
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass für Integritätsringe gilt:

.

Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Voraussetzung der Nullteilerfreiheit an R hierbei wesentlich ist.

Meine Ideen:
Ich muss einen Ring nehmen, der kein Identitätsring ist bzw. der Nullteiler hat und muss dann zeigen, dass .

Meine Idee ist, zu wählen; ist nicht nullteilerfrei, da zum Beispiel gilt:
.

Nun muss ich noch irgendwie bestimmen.

Dabei komme ich nicht gut zurecht.

Kann mir jemand dabei helfen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Finde ein nicht konstantes Polynom f in , das invertierbar ist, es also ein Polynom g gibt, mit .

Natürlich ist der Höchstkoeffizient solch eines Polynoms f ein Nullteiler. Also 2.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein nicht-konstantes Polynom, das invertierbar ist...

1. Frage: Warum muss es nicht-konstant sein?


Okay, versuche ichs also mal:
Dann nehme ich ein nicht konstantes Polynom und rechne einfach mal:

, zum Beispiel wenn .

Das heißt .

Zitat:
Natürlich ist der Höchstkoeffizient solch eines Polynoms f ein Nullteiler. Also 2.


Diesen Hinweis habe ich leider nicht verstanden und ich sehe das Argument nicht.

Ist es nicht klar, dass dieses Polynom f nicht auch in ist? Denn wie soll da ein Polynom enthalten sein? verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Zitat:
Natürlich ist der Höchstkoeffizient solch eines Polynoms f ein Nullteiler. Also 2.


Diesen Hinweis habe ich leider nicht verstanden und ich sehe das Argument nicht.

Hm, wie soll denn das Produkt der "höchsten" Monome (in deinem Beispiel waren das ax bzw. cx) verschwinden können (denn das muss es wohl, wenn 1 rauskommen soll!), wenn die zugehören Koeffizienten (hier a und c) nicht Nullteiler wären???

Zitat:
Original von Dennis2010
Ist es nicht klar, dass dieses Polynom f nicht auch in ist? Denn wie soll da ein Polynom enthalten sein? verwirrt

Habe lang über diese Sätze nachgedacht, aber konnte sie auf keine mir plausible Weise mit einem Sinn belegen... unglücklich
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Will mir nicht in den Kopf hinein...

Ich sehe, dass eine Einheit ist in .

Aber ich sehe nicht, was das jetzt mit den Einheiten in zu tun hat.




Und mit dem anderen meinte ich--- auf der einen Seite hat man doch Polynome als Einheiten und auf der anderen Seite einfach ganze Zahlen, wie kann man das überhaupt miteinander gleichsetzen oder nicht gleichsetzen?


verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir bewusst machen, dass die Aussage so zu verstehen ist, dass die Einheiten in R[X] gerade die konstanten Polynome sind, bei deneni der (einzige nicht verschwindende) Koeffizient eine Einheit in R ist.

Das heißt streng genommen ist nur .

Der zugehörige Isomorphismus (der jeder Einheit aus das konstante Polynom zuordnet) ist allerdings so kanonisch, dass man meistens von Gleichheit spricht.

Gibt es aber nun ein nicht konstantes invertierbares Polynom, dann gelten obige Ausführungen sicher nicht mehr, weil es keine Möglichkeit gibt solch ein Polynom geeignet mit einer Einheit aus dem Ring zu identifizieren.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss man nur zeigen: Es gibt ein solches Polynom, das invertierbar und nicht-konstant ist und schon kann die Gleichheit nicht stimmen.

Man muss also dann gar nicht mehr ermitteln, welche Elemente in sind, denn Gleichheit kann ja sowieso nicht mehr herrschen.


Richtig?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Also muss man nur zeigen: Es gibt ein solches Polynom, das invertierbar und nicht-konstant ist und schon kann die Gleichheit nicht stimmen.

Man muss also dann gar nicht mehr ermitteln, welche Elemente in sind, denn Gleichheit kann ja sowieso nicht mehr herrschen.

Richtig?

Ja. Übrigens: Falls der Ring ein nilpotentes Element enthält, dann ist stets invertierbar... Das hilft oft, so wie auch in diesem Beispiel...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn ein nilpotentes Element in einem Ring?

Ich kenne den Begriff "nilpotent" nur bei Matrizen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist in Ringen genauso wie bei Matrizen definiert.
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